Equation Première S

[Skylinia]

On se propose de résoudre dans R l'équation (E) :
x^3(au cube)+6x²+9x+4 = 0

1) Pour cela, il faut effectuer le changement d'inconnue y = x+2
a) Montrer que résoudre (E) revient résoudre l'équation (E') :
y^3-3y+2 = 0

b) Déterminer une solution évidente A de l'équation (E')

2)a) Déterminer alors une factorisation de y^3-3y+2 par (y-A).
b) En déduire les solutions dans R de l'équation (E'), puis celles de l'équation (E).

J'espère avoir avant tout des explications puisque que je n'arrive à rien malheureusement, j'ai beau regarder mes leçons je ne sais pas comment procéder dans chaque question.
Je suis forcément bloquée...

[Ericovitchi]

As tu au moins essayer ce changement de variable y = x+2
Ca consiste juste à en déduire x=y-2 et à remplacer le x dans x³ +6x²+9x+4 = 0 à développer puis à réduire et vérifier que l'on trouve bien y³-3y+2 = 0
faisable quand même ?

[Skylinia]

Si x = y-2 alors j'obtiens :
(y-2)³ + 6(y-2)² + 9(y-2) + 4 = 0

y³-6y+8 + 6y²-24y+24 + 9y-18 + 4 = 0

y³ + 6y² -21y + 18 = 0

J'obtiens pas la même chose c'est pour cela que je n'ai pas donné cet essaie que j'avais déjà fait.

[Ericovitchi]

C'est sûr que si tu crois que (y-2)³=y³-6y+8 tu ne vas pas trouver grand chose de juste. il s'agirait de ne pas confondre (a+b)² et (a+b)³

A titre indicatif, (a+b)³=a³+b³+3a²b+3ab²

[Skylinia]

J'ai trouvé !

(E) : x³+6x²+9x+4 = 0
(E') : y³-3y+2 = 0

1a)
(E') y³-3y+2 = 0
(x+2)³-3(x+2)+2 = 0
x³+6x²+12x+8-3x-6+2 = 0
x³+6x²+9x+4 = 0
(E)

Il fallait tout simplement partir de (E') ! en remplaçant y !
Merci à toi :)