Nombres complexes, fonctions et ensembles

[Moby]

Bonjour à tous

Voici tout d'abord l'énoncé de l'exercice que je dois traiter:

Soit f l'application qui à tout nombre complexe z -2i associe:

Z = f(z) = (z -2 + i) / ( z + 2i)

On appelle A et B les points d'affixes respectives zA=2-i et zB= -2i.

En remarquant que Z= (z-za) / ( z-zb), déterminer :

1.L'ensemble E des points M d'affixe z, tels que Z soit réel.
2.L'ensemble F des points M d'affixe z, tels que Z soit un imaginaire pur.
3. Calculer |f(z)-1|* |z+2i|, et en déduire que les points M' d'affixe Z, lorsque le point M d'affixe z parcourt le cercle de centre B et de rayon racine de 5 , sont tous sur le même cercle dont on précisera le rayon et l'affixe du centre.

Mon problème est que je sais pas du tout exploiter la fonction et la remarque afin de déterminer les ensembles ... :s

Merci d'avance pour votre aide :)

[Sa Majesté]

Salut

Pense aux arguments
Que représente l'argument de (z-za) / (z-zb) ?

[Moby]

Bonjour :)

arg (z-za)/ (z-zb) = arg ( z-za) - arg (z-zb)
= (u,AM) - (u,BM)
= (u, AM) + (BM,u)
= (BM,AM)

Non?

[Sa Majesté]

Oui
Voilà qui répond à ton problème sur la façon d'utiliser la remarque
A toi de la relier aux différentes questions :id:

[Moby]

Donc je dois placer les points A et B dans un plan complexe ,
mais on me demande de trouver l'ensemble des points M tels que Z soit réel.

mais Z est réel si et seulement si (u, OM) = O [+k pi)] non?

[Sa Majesté]

mais Z est réel si et seulement si (u, OM) = O [+k pi)] non?

Presque
Z est réel ssi Z=0 ou arg(Z) = 0 (modulo pi)
Il ne faut pas oublier le cas Z=0 car 0 n'a pas d'argument

[Moby]

D'accord, je comprends!
mais par contre je n'arrive pas à visualiser un ensemble qui prenne en compte que Z soit un réel <=> arg Z = 0 (modulo pi ) et que arg (Z) = (BM; AM) à moins que ce ne soit la droite(AB) mais je ne suis pas sure de moi !

[Sa Majesté]

C'est presque ça
Z est réel ssi Z=0 ou arg(Z) = 0 (modulo pi)
A quoi correspond le cas Z=0 ?
A quoi correspond le cas arg(Z) = 0 (modulo pi) ? Est-ce toute la droite (AB) ?

[Moby]

Euh arg ( Z) = 0 lorsque M appartient à la droite (AB) privée du segment [AB] et arg (Z) = pi lorsque M appartient au segment [AB] ?

Enfin je suis un peu perdue à vrai dire ..

[Sa Majesté]

arg (Z) = pi lorsque M appartient au segment [AB] ?

A tout le segment [AB] ?

[Moby]

A et B exclus ?

[Sa Majesté]

Oui
A car 0 n'a pas d'argument
B car Z n'existe pas quand M=B

[Moby]

D'accord donc l'ensemble E des points M d'affixe z , tels que Z soit réel est la droite (AB) privée de A et de B ?

Je vous remercie :)

Je vais maintenant essayer de trouver l'ensemble F et je publierai mes résultats !

[Sa Majesté]

D'accord donc l'ensemble E des points M d'affixe z , tels que Z soit réel est la droite (AB) privée de A et de B ?

Pas encore tout à fait
Relis bien tous mes messages

[Moby]

Le segment [AB] privé de A et de B ?

[Sa Majesté]

Tu t'éloignes ...

[Moby]

Je dois vous avouer que je suis perdue...

Je comprends que les points A,B et M doivent être alignés , et comme vous l'avez dit M ne peut pas etre ni en A ni en B! mais vous m'avez aussi dit qu'il ne pouvait pas etre sur (AB) privée de A et de B ni sur [AB] privé de A et de B mais je ne visualise pas quel pourrait être l'ensemble je continue à chercher !

[Sa Majesté]

Reprenons mon message #8

Z est réel ssi Z=0 ou arg(Z) = 0 (modulo pi)
A quoi correspond le cas Z=0 ?
A quoi correspond le cas arg(Z) = 0 (modulo pi) ?

[Moby]

le cas Z=0 correspond à M en B ?
le cas arg(z) = o (modulo pi ) correpond à (AB) privée de A et de B ?

[Sa Majesté]

le cas Z=0 correspond à M en B ?

Tu veux dire M en A je suppose

le cas arg(z) = o (modulo pi ) correpond à (AB) privée de A et de B ?

Oui

Et donc au final tu trouves quoi ?