Nombres complexes et ensembles de points TS

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Bonjour!
J'ai un probleme avec mon exercice, pour ceux qui ont le livre "hyperbole terminale S edition 2006", il est à la page 317.
(la notation u-> signifie vecteur u)
Le plan complexe est rapporté un repère orthonormal direct (O;u->,v->)
On appelle A le point d'affixe -1 et B le point d'affixe 1.
On appelle E l'ensemble des points du plan distincts de A, O et B.
A tout point M d'affixe z appartenant à l'ensemble E, on associe le point N d'affixe z² et le point P d'affixe z³.

1. Prouver que les points M, N et P sont deux à deux distincts. ----> OK
2. On se propose dans cette question de déterminer l'ensemble C des points M appartenant à E tels que le triangle MNP soit rectangle en P
a) En utilisant le théorème de Pythagore, démontrer que MNP est rectangle en P si, et seulement si, |z+1|²+|z|²=1
b) Démontrer que |z+1|²+|z|²=1 équivaut à (z+1/2)(z+1/2)barre=1/4 (c'est le deuxième (z+1/2) qui est entièrement sous la "barre")
c) En déduire l'ensemble C cherché.

Alors voilà, pour la question 1, pas de problème. Mais à partir de la deuxième ça coince...
L'énoncé demande d'apliquer Pythagore, donc je me suis dit que dire que le triangle MNP est rectangle en P équivaut à dire que
MP²+NP²=MN²
|z³-z|²+|z³-z²|²=|z²-z|²
Mais ça ne me mène a rien :( J'ai essayé des factorisations:
|z*(z²-1)|²+|z*(z²-z)|²=|z(z-1)|²

|z|²*|z²-1|²+|z|²*|z²-z|²=|z|²*|z-1|²

|z²-1|²/|z|² + |z²-z|²/|z|² = |z-1|² (là j'ai tout divisé par |z|²) mais voilà ça ne me mène à rien du tout, je retourne cette équation dans tout les sens mais pas moyens je ne vois pas comment faire!!

Et pour la question 2 b, c'est la même chose!
Enfin, pour la question 2 c, j'ai tenté quelque chose mais toujours rien:
en effet je suis parti du résultat donné à le question 2b:

(z+1/2)(z+1/2)barre=1/4
si z=a+ib
(a+ib+1/2)(a-ib+1/2)=1/4

a²-aib+a/2+aib-i²b²+ib/2+a/2-ib/2+1/4=1/4

a²+b²+a+1/4=1/4

a²+b²+a=0 et voilà, je pense que tout ça ne sert à rien car je ne vois pas ce que je peux en déduire... :(

Bref voilà l'exercice n'est pas fini mais je pense avoir moins de probleme pour la suite qui m'a l'air plus accessible. Donc si quelqu'un pourrait m'aider à y voir plus clair là dedans ce serait gentil :)
Merci

[Huppasacee]

pour la b , par exemple,

z+1 = (z + 1/2 ) + 1/2

z = ( z + 1/2 ) - 1/2
on regarde ce que cela donne pour les modules ( en utilisant les conjugués )

[Huppasacee]

|z|²*|z²-1|²+|z|²*|z²-z|²=|z|²*|z-1|²
encore un effort !

[titynette]

merci :id:

[titynette]

Bonjour!
Désolée de revenir vous embeter mais voilà j'ai encore un problème avec la suite...
Pour la partie que je vous ai notée plus haut, c'est ok, l'ensemble C cherché est le cercle qui a pour centre le point d'affixe -1/2 et pour rayon ½.
Mais pour la suite, j'ai du mal...

M est un point de E d'affixe z, r est le module de z et a est l'argument de z, a est compris entre -Pi et Pi.
Je dois démontrer que l'ensemble F des points M de E, tels que l'affixe de P soit un réel strictement positif, est la réunion de trois demi-droites (eventuellement privées de points).
J'ai déjà mis le temps à comprendre la question, et à comprendre qu'on nous disait ce qu'on devait trouver (l'ensemble est constitué de trois demi-droites).

Bon alors tout d'abord je me suis dit que vu que l'affixe de P (z³) doit être un réel, cela signifie que Im(z³)=0. (Je ne sais pas si vous le notez comme ça mais ça veut dire: partie immaginaire de z³ égale 0).

Alors j'ai noté z=x+iy avec x et y des réels.
Puis j'ai cherché la forme algébrique de z³:
z³=(x+iy)³ et j'ai trouvé: z³=[x(x²-3y²)]¨+[iy(3x²-y²)]

Mais comme z³ est un réel, alors y(3x²-y²)=0
donc z³=x(x²-3y²)

Or il faut que ce soit un réel strictement positif donc:
z³>0
x(x²-3y²)>0
donc soit: x>0
soit x²-3y²>0
Mais là, ça veut dire quoi?? que x²>3y²?
Donc que x>;)(3)y ?? ou que yLa je bloque :(
Si quelqu'un pouvait m'apporter son aide^^ Et merci déjà à tout ceux qui auront eu le courage de lire ce problème !!

[Sa Majesté]

L'énoncé de l'exercice t'encourage à utiliser la forme exponentielle de z, puisqu'il pose r le module de z et a l'argument de z :id: