Forme générale d'endomorphismes

[Wolowitz]

Bonsoir,

cet exercice m'embête, et je suis complètement à la ramasse

Donner la forme générale des endomorphisme detels que

kerf=Vect()
Imf={(x,y,z,t);x+2y-3z=0 et x+t=0}

bon j'ai

et je bloque :hein:

Bonne soirée et merci.

[girdav]

Bonjour,
si tu bloques, c'est sans doute parce que tu n'arrives pas à exploiter la condition sur l'image.
Tu peux commencer par chercher une base de l'image, disons (elle est de dimension deux). Il faut que l'espace engendré par soit le même que l'espace engendré par . Or , ce qui impose déjà quelque chose sur et .

[Wolowitz]

Il faut que l'espace engendré par soit le même que l'espace engendré par .

=>Vect =Vect

=>Vect

cela implique-t-il
?

[girdav]

Malheureusement non, puisque en permutant et (ce qui ne change rien aux espaces engendrés) on pourrait déduire que v_1 =v_2, ce qui est moyen pour une base.
En revanche, on sait que .

[Wolowitz]

f(e2) aussi appartient à Vect(v1,v2) nn?

[girdav]

f(e2) aussi appartient à Vect(v1,v2) nn?

Oui. Mais pourquoi ne pas essayer de voir qui sont et ?

[Wolowitz]

bonjour

Je ne trouve toujours pas comment exprimer v1,et v2.


et puis je ne vois pas trop

[girdav]

bonjour

Je ne trouve toujours pas comment exprimer v1,et v2.


et puis je ne vois pas trop

Il faut plutôt d'aider de ce que l'on sait sur l'image par l'énoncé.

[Wolowitz]

e1=


e1 Im f => et

or
et je suis bloqué. :hum:
Puis je n'arrive pas à relier les deux conditions.

[Wolowitz]

Bonjour

svp expliquez-moi juste comment on exploite la condition

Imf={(x,y,z,t);x+2y-3z=0 et x+t=0}

[Purrace]

tu peux donner le vectoriel qui engendre ton espace im(f) en deduire une base

[girdav]

Si est dans l'image alors et donc . Dès lors, tu dois être capable de trouver les vecteurs qui engendrent l'image.

[Wolowitz]

donc Imf=Vect((3,0,1,-3),(-2,1,0,2))
dim im f)=2
donc une base de Im f est(3,0,1,-3),(-2,1,0,2)?

[Wolowitz]

donc Imf=Vect((3,0,1,-3),(-2,1,0,2))
dim im f)=2
donc une base de Im f est(3,0,1,-3),(-2,1,0,2)?

[girdav]

Si mes calculs sont corrects, oui.

[Wolowitz]

D'accord, et ainsi comment dois-je faire pour trouver la forme générale des endomorphisme vérifiant

Imf={(x,y,z,t);x+2y-3z=0 et x+t=0}
(je ne comprends pas trop le terme de forme générale)

[Wolowitz]

D'accord, et ainsi comment dois-je faire pour trouver la forme générale des endomorphisme vérifiant

Imf={(x,y,z,t);x+2y-3z=0 et x+t=0}
(je ne comprends pas trop le terme de forme générale)

[girdav]

L'espace vectoriel des endomorphismes de est . Je ne sais pas si tu es familier avec la notion de matrice d'un endomorphisme, sinon tu peux voir ça comme un tableau où les colonnes sont les vecteurs ,, , .
Les conditions sur le noyau nous disent qu'il suffit de déterminer et .

[Wolowitz]

Puis pour les lignes de la matrice j'aurai (e1,e2,e3,e4)?
(e1,e2,e3,e4) est ce la base canonique de l'endomorphisme?

mais que puis je déduire d'autre?

[girdav]

Donc il existe des constantes et telles que et pareil pour (avec des constantes et par exemple) de façon à ce que les deux vecteurs soient non nuls et non proportionnels.