Deux questions problématiques.

[Anonyme]

Bonjour à tous. J'ai beau les lire 10 fois de suite, ces questions me posent toujours un problème..

I) Combien y a t-il de multiples de 47 compris entre -2350 et 950 ? (je pensais utiliser les suites pour aller plus vite)

II) Montrer que le résultat du quotient de la somme des nombres que l'on peut écrire avec 3 chiffres différents par la somme de ces 3 chiffres est un nombre constant.

III) Montrer que si p est impair, la somme de p nombres consécutifs est un multiple de p.


Merci à tous

[Mathusalem]

Bonjour à tous. J'ai beau les lire 10 fois de suite, ces questions me posent toujours un problème..

I) Combien y a t-il de multiples de 47 compris entre -2350 et 950 ? (je pensais utiliser les suites pour aller plus vite)

II) Montrer que le résultat du quotient de la somme des nombres que l'on peut écrire avec 3 chiffres différents par la somme de ces 3 chiffres est un nombre constant.

III) Montrer que si p est impair, la somme de p nombres consécutifs est un multiple de p.


Merci à tous

I) On remarque que -2350 est un multiple de 47, i.e 47*50.
En ceci, de -2350 a 0, il y a 50 multiples de 47. de 0 a 950, il y en a 20, car le dernier multiple est 940 = 20*47

Donc il y en a 70 en tout. (si on ne compte pas 0*47 = 0)

Essaie de traduire mathematiquement II et III

Indice pour la 2: Comment écris-tu un nombre à 3 chiffres différents ? (Par exemple, un nombre à 2 chiffres pourrait s'écrire 10x + y pour avoir les dizaines et les unités)

Ce qu'il te dit de faire est de prendre, par exemple, 1 2 et 3.
Et montrer que 123 + 132 + 213 + 231 + 312 + 321 / 3+2+1 = Q
Et il faut montrer que Q est identique pour n'importe quels 3 chiffres de départ différents que tu prends.

Pour la 3, comment écris tu un nombre impair ? Si celui-ci se nomme P, comment écris tu la somme de P nombres impairs consécutifs ?

[Black Jack]

I) On remarque que -2350 est un multiple de 47, i.e 47*50.
En ceci, de -2350 a 0, il y a 50 multiples de 47. de 0 a 950, il y en a 20, car le dernier multiple est 940 = 20*47

Donc il y en a 70 en tout. (si on ne compte pas 0*47 = 0)
Essaie de traduire mathematiquement II et III

Indice pour la 2: Comment écris-tu un nombre à 3 chiffres différents ? (Par exemple, un nombre à 2 chiffres pourrait s'écrire 10x + y pour avoir les dizaines et les unités)

Ce qu'il te dit de faire est de prendre, par exemple, 1 2 et 3.
Et montrer que 123 + 132 + 213 + 231 + 312 + 321 / 3+2+1 = Q
Et il faut montrer que Q est identique pour n'importe quels 3 chiffres de départ différents que tu prends.

Pour la 3, comment écris tu un nombre impair ? Si celui-ci se nomme P, comment écris tu la somme de P nombres impairs consécutifs ?

Avec la définition généralement utilisée actuellement pour les multiples, 0 doit être pris en compte.

:zen:

[Anonyme]

Alors. Pour la II: j'écrirai un nombre à 3 chiffres différents 100x+10y+z pour avoir les centaines, les dizaines et les unités.

Pour la III: le nombre impair se note p = 2p-1
La somme de thermes consécutifs se note n(n+1) / 2
Je peux donc dire: p(p+1) / 2
( si je ne me trompe pas )

[Black Jack]

Toujours pour la I )

Il serait bon que aalexaandraa précise la définition qu'on lui a enseignée pour les "multiples d'un nombre" car, comme c'est très souvent le cas, tous n'utilise pas la même définition.

Un petit coup d'oeil sur le net, par exemple ici : http://euler.ac-versailles.fr/baseeuler/lexique/notion.jsp?id=150

Et j'y lis :

"On dit que a est un multiple de b si et seulement si il existe un entier naturel k tel que : a=k×b."

Avec une telle définition (assez répandue, mais certainement pas unique), la réponse n'est ni 70, ni 71
********
:zen:

[Black Jack]

Alors. Pour la II: j'écrirai un nombre à 3 chiffres différents 100x+10y+z pour avoir les centaines, les dizaines et les unités.

Oui, mais on te demande TOUS les nombres à 3 chiffres qu'on peut écrire à partir des chiffres x, y et z.

Exemple: avec les même chiffres (x, y et z) tu peux aussi écrire le nombre : 100x + 10z + y mais aussi le nombre 100y + 10x + z
Et encore plusieurs autres ...

Tu dois essayer de trouver tous ces nombres. (écrit en fonction de x, y et z)
Quand ce sera fait, tu devras faire la somme de tous ces nombres (appelons S1 cette somme)
Tu devras ensuite monter que S1/(x+y+z) est une constante, c'est à dire ne dépend pas des valeurs des chiffres x, y et z.

:zen:

[Black Jack]

III) Montrer que si p est impair, la somme de p nombres consécutifs est un multiple de p.

Soit P un nombre impair.
P = 2n+1 (avec n appartenant à N)

La somme de P nombres consécutifs à P est la somme de P termes d'une suite de termes en progression arithmétique de raison 1 et de premier termes = P.

...

:zen:

[lisaa&maarie]

Bonjour aalexaandraa, nous sommes dans le même cas que toi ! Nous avons nous aussi de gros problèmes pour résoudre cet exercice. Si tu as avancé fais nous un coucou du fond de la classe ;) :zen:

[Mathusalem]

Pour la II)

Vous avez le bon début, sauf que ce sont tous les chiffres possibles.

Ainsi tu as :
100x + 10y + z
100x + 10z + y
100y + 10x + z
100y + 10x + y
Il en manque deux que je te laisse compléter

Si tu les sommes, tu devrais arriver à
(Qx + Qy + Qz ) / (x + y + z) = Q(x+y+z)/(x+y+z) = Q
Si tu finis la série de termes que j'ai écrite en-dessus, tu devrais trouver Q sans problèmes.
Une fois fait : Montrer que ça part en sucette (par l'exemple) si les chiffres ne sont pas tous distincts. Exemple, x = y = 2.

Pour la 3)
si P est impair, alors
P = 2n + 1 ( ou -1, c'est égal)

Soit A un nombre.
Alors la somme de A + (A+1) +... +(A+2n+1) = quelque chose que tu sais.

Montre que cette somme est divisble par P, soit par 2n+1.