DM de spe Maths bloque sur deux questions

[Izuku]

Bonjour !
Tout d'abord desole mais je n'arrive pas a mettre d'accent, ils ne fonctionnent pas sur ce site avec mon portable...

J'ai un DM de spe maths a faire et je bloque sur deux questions, de deux exercices differents.
L'exercice 1 est :

1) Determinez l'ensemble des couples d'entiers naturels (x ; y) tels que -4x^2 + y^2 = 20

-> Apres transformation et factorisation via une identite remarquable, j'obtiens 3 couples (x ; y) : (4.75 ; 10.5) ; (2 ; 6) ; (0.25 ; 4.5)

2) Soit f la fonction definie sur R (l'ensemble des reels) par f(x) = 2 racine carree de x^2 + 5. On note Cf sa courbe representative dans un repere du plan. Determiner, en justifiant, l'ensemble des points a coordonnees entieres appartenant a Cf.

-> Je ne sais pas quoi faire. J'ai tape la fonction a la calculatrice et ça represente un V. J'ai tente d'isoler le x^2 + 5 et de calculer Delta, mais il est negatif et donc pas de solutions...

Autre exercice sur les nombres de Fermat :

Soit n un entier naturel. On appelle n ieme (enieme) nombre de Fermat le nombre Fn = 2^(2^n) + 1.

L'objectif de cet exercice est de prouver que deux nombres de Fermat distincts sont premiers entre eux.

1) Demontrer que tout nombre de Fermat est impair.

-> J'ai dit que comme 2^n est forcement pair, 2^(2^n) le serait aussi et donx 2^(2^n) + 1 est impair car tout nombre impair peut s'ecrire 2q + 1.

2) Demontrer par recurrence que, pour tout entier naturel n non nul, F0 x F1 x ... x Fk x ... x Fn-1 = Fn - 2.

-> En initialisation j'ai compare pour n=1 : F0 = 3 (car Fn-1 = F0-1 = F0) et F1 - 2 = 3, donc vrai.
L'heredite j'ai egalement trouve en commencant par factoriser par Fn a gauche et a droite, pour avoir au final (F0 x F1 x... x Fk x... xFn-1) x Fn = 2^(2^n+1)

2) Soit k et n deux entiers naturels distincts tels que k < n.
Demontrer que Fk et Fn sont premiers entre eux.

-> Je ne sais pas comment le prouver sachant que k et n sont des variables donc faut laisser tomber le cas par cas, sinon on a pas fini... !

Donc je bloque sur la question 2) de l'exo 1 et la question 3) de l'exo 2...

Donc voila... Encore desole pour les accents (d'habitude je les mets).
Merci d'avance a ceux qui pourront m'eclairer !

[zygomatique]

salut

1) Determinez l'ensemble des couples d'entiers naturels (x ; y) tels que -4x^2 + y^2 = 20

-> Apres transformation et factorisation via une identite remarquable, j'obtiens 3 couples (x ; y) : (4.75 ; 10.5) ; (2 ; 6) ; (0.25 ; 4.5)

lesquelles ? et on veut des entiers !!!



tu cherches quand f(x) est entier ... donc quand f(x) = n avec n un entier ....

[Izuku]

Bonjour, merci de la réponse !

Pour la transformation et factorisation, j'ai fait :
-4x^2 + y^2 = 20 équivaut à y^2 - 4x^2 = 20, ce qui fait (y - 2x)(y + 2x) = 20

Ensuite, j'ai fais racine carrée de 20, ce qui fait environ 4.5, donc on cherche les diviseurs de 20 jusque 4, et c'est : 1 × 20, 2 × 10 et 4×5.
Je résous ensuite les systèmes :
y - 4x = X
y + 4x = Y

Avec (X, Y) les diviseurs de 20. (Donc (1, 20);(2, 10);(4, 5).

Et pour la seconde question, je cherche les entiers un à un ? Il n'y a pas de méthode particulière pour savoir combien on est censé en avoir ? Bien que c'est une droite donc bon...

[Izuku]

salut

1) Determinez l'ensemble des couples d'entiers naturels (x ; y) tels que -4x^2 + y^2 = 20

-> Apres transformation et factorisation via une identite remarquable, j'obtiens 3 couples (x ; y) : (4.75 ; 10.5) ; (2 ; 6) ; (0.25 ; 4.5)

lesquelles ? et on veut des entiers !!!

Mon Dieu ça va plus moi, je lis même plus les énoncés... Du coup, seul le couple (2;6) fonctionne.

[zygomatique]

(y - 2x)(y + 2x) = 20 = 1 * 20 = 2 * 10 = 4 * 5 = 5 * 4 = 10 * 2 = 20 * 1

il y a donc six systèmes à vérifier ....

et ne vois-tu pas le lien entre les questions 1/ et 2/ ?

[Izuku]

(y - 2x)(y + 2x) = 20 = 1 * 20 = 2 * 10 = 4 * 5 = 5 * 4 = 10 * 2 = 20 * 1

il y a donc six systèmes à vérifier ....

et ne vois-tu pas le lien entre les questions 1/ et 2/ ?

J'ai repris à partir d'un exercice fait en cours où on avait pas pris dans l'autre sens les couples. J'ai donc au final (2;6) et (-2;6).

Pour la question 2, je ne vois pas... Faut-il utiliser les deux valeurs entières de x^2 trouvées à la question 1 et la remplacer dans la formule ? Je trouve pour x^2 = -2 : f(x) = 6 et pour x^2 = 2 : f(x) = 6, donc deux entiers.

[zygomatique]

J'ai repris à partir d'un exercice fait en cours où on avait pas pris dans l'autre sens les couples. J'ai donc au final (2;6) et (-2;6).

alors fais ce que tu veux ...

et d'autre part on demande des entiers naturels ...



quand on a une racine carrée dans une équation on fait quoi ?

[Izuku]

J'ai repris à partir d'un exercice fait en cours où on avait pas pris dans l'autre sens les couples. J'ai donc au final (2;6) et (-2;6).

alors fais ce que tu veux ...

et d'autre part on demande des entiers naturels ...



quand on a une racine carrée dans une équation on fait quoi ?

Ce n'est pas parce que j'ai dis ça que je vais me contenter du (2;6). Ta remarque était correcte, j'ai juste dit que dans les conditions d'un autre exercice on avait procédé autrement.
Ensuite oui, mais je vais tout de même écrire les autres systèmes mais en précisant que vu que l'on demande des entiers naturels, on ne prend pas les couples (10.5; 4.5) ect...

On la retire ? Pour ça, on met toute l'expression au carré... ?

[zygomatique]

Ensuite oui, mais je vais tout de même écrire les autres systèmes mais en précisant que vu que l'on demande des entiers naturels, on ne prend pas les couples (10.5; 4.5) ect...

ha ben ok ... c'est plus clair !!!

on résout tous les systèmes et on ne garde que les réponses convenables ...

On la retire ? Pour ça, on met toute l'expression au carré... ?

ben qu'en penses-tu ?

qu'as-tu appris en seconde ? en première ?

[Izuku]

Eh bien en Seconde et Première j'ai très peu manipulé les racines carrées dans les équations, mais je sais comment les supprimer, le ^2 étant l'inverse de la racine carrée.

[zygomatique]

ben alors montre ...

[Izuku]

f(x) = 2 racine carrée de x^2 + 5
f(x) = 2 (racine carrée de x^2 + 5)^2
f(x) = 2x^2 + 5

[zygomatique]

f(x) = 2 racine carrée de x^2 + 5
f(x) = 2 (racine carrée de x^2 + 5)^2
f(x) = 2x^2 + 5

voir mon premier post ...

[Izuku]

Je dois être désespérant, désolé...
J'ai bien compris qu'on doit obtenir un entier n, seulement il faut remplacer le x^2 par un des x entier obtenu au 1) ?

[zygomatique]

mais un peu de sérieux !!

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