Diagonaliser ?

par **Jfmamjjasond2** » 18 Mai 2010, 10:32

Hello, j'ai un exercice qui me demande de diagonaliser une matrice. Sauf que c'est la première fois que j'entend ce terme. Quelqu'un peut-il m'expliquer de quoi il s'agit svp ?

La matrice en question est

Merci d'avance

par **Arnaud-29-31** » 18 Mai 2010, 10:44

Bonjour,

Tu es en première ou deuxième année ?

par **Jfmamjjasond2** » 18 Mai 2010, 13:59

Je suis en prépa intégrée dans une école d'ingé donc je sais pas à quoi mon programme correspond.

par **Arnaud-29-31** » 18 Mai 2010, 14:43

Diagonaliser en principe c'est trouver une matrice diagonale semblable à la matrice de départ. Ca se fait via l'étude des valeurs propres, vecteurs propres.

par **Jfmamjjasond2** » 21 Mai 2010, 08:38

Heu merci...C'est quoi un vecteur propre ? ^^

par **Ericovitchi** » 21 Mai 2010, 10:23

un vecteur propre c'est un vecteur tel que A.V=kV
k s'appelle une valeur propre.
Comme (A-kI).V=0 le déterminant de (A-kI) = 0 et ce polynôme en k s'appelle le polynôme caractéristique.

Alors tu me diras, A quoi peut servir tout ça pour diagonaliser une matrice ?
C'est quoi d'abord diagonaliser ? : On dit qu'un endomorphisme est diagonalisable s'il peut être représenté dans une base convenablement choisie par une matrice diagonale. La question est donc de trouver cette base. Cette base est formée par les vecteurs propres puisque chaque vecteur propre est tel que AV=kV , un vecteur décomposé suivant ces vecteurs propres sera transformé par une matrice diagonale.
Donc pour diagonaliser, il faut que tu calcules ce polynôme caracteristique, que tu calcules les zéros du polynôme (les valeurs propres) puis les vecteurs propres, ...

Il est difficile de faire tout ça si tu ne connais pas un minimum de cours !

par **Ericovitchi** » 21 Mai 2010, 10:46

Concrètement tu calcules donc :

soit (1-x)(x+1)(x-2)=0
tu en déduis les 3 valeurs propres -1 ; 1 ; 2 ce qui te permet déjà d'affirmer qu'il existe une base dans laquelle ta matrice aura la forme diagonale suivante :

A =

par **Doraki** » 21 Mai 2010, 11:13

Si M est diagonalisable, ça veut dire qu'il existe une base B = (u1, u2, u3) et 3 réels k1, k2, k3 tels que dans la base B, M devient

C'est à dire que M u1 = k1 u1 ; M u2 = k2 u2 ; et M u3 = k3 u3.
u1 u2 u3 s'appellent des vecteurs propres, et k1 k2 k3 leurs valeurs propres.

Pour trouver ces vecteurs propres et ces valeurs propres, on essaye de résoudre le système M x = k.x où le vecteur x est un vecteur inconnu, et k un réel quelconque.
M x = k.x (M - k.Id) x = 0.
Ce système a toujours la solution x = (0,0,0), ce qui ne nous apporte rien.
Si (M - k.Id) est inversible, alors le système équivaut à x = 0. Donc dans ce cas on ne trouve pas de vecteur propre, donc k n'est pas une valeur propre.
En revanche, lorsque (M - k.Id) n'est pas inversible, on trouvera des solutions non triviales à (M - k.Id) x = 0.

Il reste donc à trouver les réels k qui rendent (M - k.Id) non inversible.
Or, (M - k.Id) n'est pas inversible det (M - k.Id) = 0.
Quand on fait varier k, det (M - k.Id) est un polynôme de degré 3 en k.

Donc si ce polynôme a 3 racines réelles, ça te donne 3 valeurs propres, avec la garantie que pour chacune de ces valeurs propres, la résolution du système correspondant te donnera un vecteur propre correspondant.

par **Jfmamjjasond2** » 21 Mai 2010, 14:43

u1, u2 et u3 sont des matrices unicolonnes si j'ai bien compris ?

par **Ericovitchi** » 21 Mai 2010, 15:11

oui, ou des vecteurs, comme tu veux.

par **Melkor** » 21 Mai 2010, 17:00

et ces trois vecteurs propres forment ta matrice de passage P
ainsi la matrice

avec D la matrice diagonale

Diagonaliser ?

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