Déterminant

[dream22]

Bonjour,
j'essaye de calculer un déterminant:

1 1 1 1
a^2 b^2 c^2 d^2
a^3 b^3 c^3 d^3
a^4 b^4 c^4 d^4

alors j'ai commencé à éliminer les 1 des colonnes 2 3 4 et ça me donne:
b^2- a^2 c^2-a^2 d^2-a^2
b^3-a^3 c^3-a^3 d^3-a^3
b^4-a^4 c^4-a^4 d^4-a^4

puis j'ai essayé d'utiliser la formule de bernouilli, ce qui me donne après simplification:
(b-a)(c-a)(d-a) facteur du déterminant

[ b+a ] [ c+a ] [ d+a]

[ a^2 +ab+b^2 ] [ c^2+ca+a^2 ] [d^2+da+a^2]

[(b^2+a^2)(b+a)] [(c^2+a^2)(c+a)] [(d^2+a^2)(d+a)]

entre crochet les termes du déterminant


et ensuite je bloque...
Merci d'avance pour votre aide!

[Ben314]

Salut,
J'ai pas tout compris de ta dernière égalité...
Ensuite, tout dépend de ce que tu veut faire de ton déterminant...

Si c'est juste une expression quelconque du déterminant que tu veux, tu peut bien sûr développer... (mais c'est pourri)

Si c'est une forme factorisé, je pense qu'il faut commencer par dire (comme dans les déterminants de Vandermonde) que le determinant est nul si deux des variables a,b,c,d sont égales, et donc que le déterminant vaut :
(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d) P(a,b,c,d)
où P est un polynôme symétrique homogène de degrés 3 en a,b,c,d, ce qui ne laisse pas un max de possibilités.
On doit pouvoir détermier P en peu de temps en étudiant une ou deux valeurs particulières, par exemple a=0...

P.S. En regardant un peu mieux, P doit aussi être de degrés 1 en chacune des variables a,b,c,d et là, il y a vraiment trés peu de choix...

[dream22]

il faut trouver une forme factoriser en utilisant des combinaisons linéaires... j'ai pas compris ce que tu m'as dit sur les polynômes...

[Ben314]

Si tu ne doit faire que des combinaisons linéaires, c'est super chiant (et super pas malin) dans un cas comme celui là...

Ce que je raconte, c'est que ton déterminant, c'est un polynôme en a,b,c,d.
Sauf que en le regardant dans le blanc des yeux, il est clair qu'il est nul si a=b ou a=c ou a=d ou b=c ou b=d ou c=d et je pense que tu as vu qu'un polynôme P(X) qui vaut 0 si X=m, ça signifie qu'on peut mettre (X-m) en facteur...

[Ben314]

Sinon, si tu tient absolument à faire des calculs de ouf, dans ton determinant :

tu retranche la première colonne au deux autres ce qui te permet de mettre en facteur dans la deuxième et dans la troisième...

[dream22]

ahh d'accord donc on peut mettre comme tu l'as dit (a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d) en facteur.
mais pour le polynôme, qu'est-ce que je dois considérer comme le polynôme à déterminer? La matrice?

[dream22]

ah je crois que j'ai compris pour les combinaisons linéaires! Merci!!!

[Ben314]

Si tu repart sur la logique consistant à factoriser tout ce qui est évident, c'est à dire F=(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d) il faut faire un certain nombre de raisonnement pour trouver les propriétés du polynôme P

1) Au départ ton déterminant est un polynôme antisymétrique en a,b,c,d (i.e. si on échange par exemple a et b il change de signe). Mais le polynôme F est aussi antisymétrique donc le polynôme P est symétrique (i.e. P ne change pas si on échange deux lettres)

2) Au départ, si on imagine qu'on développe par rapport à une colonne, on voit que le déterminant est de degré 4 en a (et aussi en b,c et d) Comme F est de degré 3 en a (et b,c,d), c'est que P est de degré 1 en a (et b,c,d)

3) Au départ, si on imagine qu'on développe complètement le déterminant, on doit prendre un terme dans chaque ligne donc le degré global de chaque monôme du déterminant 2+3+4=9 (le degrés global d'un monôme est par définition ). Or, si on développe F, tout les monomes sont de degrés global 6 donc tout les monômes de P sont de degrés global 3.

Conclusion : P est symétrique et formé de monôme de degré global 3 et de degré au plus 1 en chaque variables : P est donc égal
bcd+acd+abd+abc
à un facteur multiplicatif prés que l'on peut trouver en regardant un des termes du développement du déterminant.

[alavacommejetepousse]

bonsoir
il me semble que le plus simple est de considérer le déterminant comme un simple polynôme en x ( en posant x = a) qui admet donc comme racines b,c,d
d'où la factorisation

P(x) = lambda(x-b)((x-c)(x-d)
lambda étant le coefficient de a^4 , or en développant par rapport à la dernière ligne on voit que lambda = même déterminant de taille 3 en b,c,d d'où ...

[Ben314]

Donc, avec celle de alavacommejetepousse (qui me semble quand même plus longue que la mienne... :zen: ) ça te fait 3 méthodes...

Elle est pas belle la vie !!!

P.S. Non seulement elle est plus longue la méthode de alavacommejetepousse, mais en plus, elle semble un peu fausse : le determinant, il est de degré 4 en a, donc le "lambda", il est de degré 1 en a et pas de degré 0...

[dream22]

Merci pour vos réponses je vais essayer de comprendre! :happy2: