équation - triples

[atreyyu]

Les nombres sont premiers entre eux. Montrer que l'équation a une infinité de solutions en nombres entiers positifs .

Je pense que c'est le troisième jour. Je serais vraiment heureux d'avoir fini avec ça. J'ai essayé de congruence, Fermat, les qualités de triplets de Pythagore, mais ça va pas. S'il vous plaît aidez-moi.

[Ben314]

Salut,
Essaye avec n choisi de façon... adapté...

[atreyyu]

Si je fais cela, les équations de l'ensemble se simplifie en . Maintenant, je ne dois que remarquer que si x, y sont premiers entre eux, alors je peux choisir nombre tel que le nombre et ne sont pas premiers entre eux, et .
Est-ce correct?

[Ben314]

Presque...
Il te faut un peut plus "fort" que ça : si tu veut que puisse s'écrire pour un certain entier c, il faut que xn+1 soit de la forme ky avec k entier ().
Il faut donc que et, comme x et y sont premier entre eux, on sait qu'il existe une infinité de tels n.

[Zweig]

Salut,

On prend

On est donc ramené à résoudre

Comme et sont premiers entre eux, on peut trouver tels que (Bézout) avec fixés. convient donc.

Ce qui assure l'infinitude des solutions (valables pour tout n).

EDIT : Grillé.

[atreyyu]

Merci beaucoup à vous deux! :)

[atreyyu]

Maintenant que j'y pense, marche ça quand sont négatifs ? ne serait pas un entier, hein ?