Commutante d'une matrice

par **smithc** » 14 Mar 2010, 10:13

Bonsoir
J'ai un problème avec l'exercice suivant :
Soit M3 l'espace vectoriel de matrices 3×3, et soit S le sous-espace vectoriel de M3 composé de matrices qui commutent avec
A = ([ -1,-3,9],[-7,8,0],[9,7,1]) pour la multiplication des matrices.
Trouver une base de S

1) Quel est la dimension de S ? ici la dimension de S est 6
2) Il me dise d'entrer la base avec les 6 elements, je dois rentrer en fait 6 matrices, et c'est ici que je n'arrive pas du tout !

J'ai supposée au debut que A*X=X*A avec X une matrice carrée avec elements inconnue je suis pas rester dessus puisque j'ai trouver des calcules assez énormes et des choses qui me paraissait pas logique !
Voilà
je vous remercie d'avances

par **alavacommejetepousse** » 14 Mar 2010, 10:42

bonjour

donne tes calculs
pour que je puisse vérifier

par **smithc** » 14 Mar 2010, 10:54

Soit la matrice X ([a1,b1,c1],[d1,e1,f1],[g1,h1,i1])

A*X =([-a1+(-3*d1+9*g1),-b1+(-3*e1+9*h1),-c1+(-3*f1+9*h1)],
[-7*a1+8*d1,-7*b1+8*e1,-7*c1+8*f1]
[9*a1+(7*d1+g1),9*b1+(7*e1+h1),9*c1+(7*f1+h1)])

X*A =[-a1+(-7*b1+9*c1),-3*a1+(8*b1+7*c1),9*a1+c1]
[-d1+(-7*e1+9*f1),-3*d1+(8*e1+7*f1),9*d1+f1]
[-g1+(-7*h1+9*i1),-3*g1+(8*h1+7*i1),9*g1+i1])

par **smithc** » 14 Mar 2010, 13:29

A partir de A*X=B*X je ne sais pas quoi faire :marteau:

par **Doraki** » 14 Mar 2010, 14:47

Qu'est-ce qui te fait dire que la dimension de S est 6 ?

Est-ce que tu connaîtrais pas quelques matrices qui sont dans S sans avoir à faire de calcul ?

par **smithc** » 14 Mar 2010, 14:58

La matrice A est une matrice dans S, ensuite je vois pas, la matrice Identité peut etre...
Pour la dimension, il me semble que c'est 3 et non pas 6 !

par **Doraki** » 14 Mar 2010, 15:30

Oui, A et I sont deux matrices qui sont dans S.
C'est pas dur de vérifier que A² aussi est dans S.

smithc a écrit:Pour la dimension, il me semble que c'est 3 et non pas 6 !

Pourquoi ?

par **smithc** » 14 Mar 2010, 15:32

Parce que c'est une matrice 3x3, elle doit etre libre et génératrice

par **smithc** » 14 Mar 2010, 15:33

Mais pourquoi on test A² :) ?

par **girdav** » 14 Mar 2010, 17:21

Bonjour,
on peut essayer de regarder la dimension de l'espace engendré par les puissances de

en regardant le polynôme minimal de la matrice.

par **smithc** » 14 Mar 2010, 17:51

D'accord, je vous remercie beaucoup pour cette aide !
Bonne soirée à vous :we:

par **alavacommejetepousse** » 14 Mar 2010, 18:55

si A est diagonalisable la dimension du commutant est égale à la somme des carrés des dimensions des sous espaces propres

Commutante d'une matrice

Commutante d'une matrice

Qui est en ligne