Problème Nombre Complexes TS

[brebre54]

(O;u;v) est un repère orthonormé d'unité graphique 3 cm. A est le point d'affixe 1.
Pour tout réel ;) dans ]-;);;)[, on définit le nombre complexe z(;)) = 1/2 * (1+e^i;))²

1) a. Montrer que 1+e^i;) = 2cos(;)/2)e^-i;)/2
En déduire le module et un argument de 1+e^i;)

b. Déterminer le module et un argument de z(;))

2) On suppose désormais que ;) varie dans [0;;)/2]. On note M;) le point d'affixe z(;)) et P;) le projeté orthogonal du point A sur la droite (OM;))
a. Placer M;) et P;) dans un répère
b. Déterminer l'ensemble des point P;)quand ;) décrit [0;;)/2]
c. Montrer que, quel que soit ;) dans [0;;)/2], la longueur M;)P;) est égale à 1
d. En déduire la construction de M;) quand ;) prend les valeurs 0, ;)/6, ;)/4 et ;)/2

(RQ : ;) = pi, c'est ce que j'ai trouvé de mieux ...)



J'ai déjà un petit problème dès la question 1a, puisque je trouve 1+e^i;) = 2cos(;)/2)e^+i;)/2 au lieu de 1+e^i;) = 2cos(;)/2)e^-i;)/2

mon calcul me parait pourtant corect, serait-ce une erreur d'énoncer ?
pouvez vous m'aider ?

[Ericovitchi]

je suppose que tu as remplacé 1+cos;) par 2cos²;)/2 et sin ;) par 2 sin ;)/2 cos ;)/2 puis mis 2cos ;)/2 en facteur.
Effectivement oui on trouve 2 cos ;)/2 e^(i;)/2)

[brebre54]

oui, c'est ce que j'ai fait, mais cela me choquait que ça ne corresponde pas à l'énoncer, mais bon ... j'ai tourner dans tous les sens, je pense qu'il doit y avoir une erreur ...

Ensuite pour le module et l'argument, j'utilise le fait que le module du produit soit le produit des modules et je trouve 2cos(;)/2) et pour les arguments, l'argument d'un produit est la somme des arguments et je trouve ;)/2

Est-ce correct ?

[Ericovitchi]

il faut qu'un module soit positif donc il faut mettre |2cos(;)/2)|
et du coup quand il est négatif il faut que l'angle compense le signe et donc être pi + ;)/2 (et quand il est positif c'est bien ;)/2)

[Ben314]

il faut qu'un module soit positif donc il faut mettre |2cos(;)/2)|
et du coup quand il est négatif il faut que l'angle compense le signe et donc être pi + /2 (et quand il est positif c'est bien /2)

Dans l'absolu, tu as raison, mais, ici, pour être sympa, l'énoncé précise que ";) est dans ]-;);;)["
Pour une fois que je lit un énoncé sans en oublier la moitié... :zen:

Pour la question 1), il y a aussi une "joli" méthode :

[Ericovitchi]

ha oui je n'avais pas vu. le cos est donc toujours positif. OK

[brebre54]

désolé j'étais parti mangé ...

Donc ensuite, je trouve module de z;) = 2cos²(;)/2) et arg(z;)) = ;)

Est-ce juste ?

Ensuite 2a je place Mpi/3 d'affixe z tel que module zpi/3 = 3/2 et arg (z) = pi/3

pour P je fais le tracer à l'équerre sans calcul j'imagine non ?

Mais ensuite pour l'ensemble des P je vois pas comment faire ...

[brebre54]

j'ai encore cherché mais j'ai rien trouvé ... une petite piste pour la nuit ? XD

Je suppose que ça doit être à un arc de cercle mais bon, comment le justifier, c'est une autre affaire ...

[Ericovitchi]

les points tels que r= 2cos(;)/2) ? ou r²=rcos(;)/2) x²+y²=x effectivement c'est un arc de cercle

[brebre54]

euh, j'ai pas compris là ... parce que je sais pas comment trouver l'affixe des différents points P;) c'est ça qu'il faut pour commencer non ?