Suite

[Rudbat]

Bonjour! Voila j'ai quasiment fais toutes un exercice sauf deux questions pourriez vous m'aidez svp?

Soit la suite (Un) définie par
Avec Uo = 1, U1 = 2
U(n+2)= U(n+1) -1/4 Un pour tout n de N.

1. Calculer u2, u3, u4 .
Utilisez votre calculatrice ou un tableur pour trouver une valeur à 10-8 près de u25 et de u40 .
On donnera l'organigramme du programme ou les formules dans le tableur.

2. Soit la suite (Vn) définie par Vn =2(^n)Un .

2.a. Calculer V(1+2) - v(n+1) en fonction de V(n+1)-Vn .
Établir que V(n+1)-Vn est indépendant de n et donner sa valeur.

2.b. Exprimer Vn puis Un en fonction de n.

3. Montrer que l'expression ;n/2^(n) tend vers zéro lorsque n tend vers +l'infini .
La suite (Un) est-elle convergente?

1)U2=1.75, U2=1.25, U3=0.8125
U25=22.65*10^-6 U40=Je trouve zero (malgré le grand nombre de zero) Pour etre sur quelle est le nombre de décimal ? 9? 8?
Sinon la formule est Posons B la colonne et a le numéro de la cellule
Soit '=B(a-1)-(1/4)*B(a-2)'

2.a. Que pensez vous de V(n+2)-V(n+1)

V(n+2)=2^(n+2)[(U(n+1)-(1/4)Un)]
=2^(n+2)(U(n+1)-2^(n+2)((1/4)Un)
factorisons par 2
=2(2^(n+1)(U(n+1)-2^(n+1)((1/4)Un)
=2(V(n+1)-2^(n-1)(Un))
=2V(n+1)-Vn
Donc V(n+2)-V(n+1)=2V(n+1)-Vn-V(n+1)
V(n+2)-V(n+1)=V(n+1)-Vn
J'ai ensuite pensez a une
hypothèse par récurrence?
Mais quelle serais Pn??
"V(n+1)-Vn=3"

initialisation
Pour n=o, V(n+1)-Vn=3

Hérédité
Soit m entier pour lequel P(n) est vraie on a donc HR "pn"

P(n+1)=V(n+2)-(Vn+1)
Or d'après la réponse que l'on vient de trouver
p(n+1)=V(n+1)-Vn=3

3)CCl
P(0) est V
Pour 0Donc pour tout n, p(n) est vraie

2.b.Je n'y arrive pas.... :mur:

3 de même pour la limite..

Un grand merci!

[Ben314]

Salut,
Ce que tu as fait est parfaitement correct (et à mon sens c'est le plus dur...)

Pour la suite :
Le fait que V(n+1)=V(n)+3 pour tout n signifie que la suite Vn est arithmétique donc qu'en fait Vn=... d'ou Un=Vn/2^n=...

Pour la suite n/2^n, si tu les as vu, tu peut utiliser les logarithmes et les exponentielles. Sinon, il y a une petite astuce consistant à montrer (par récurrence) que, pour n>(ou égal)4, on a 2^n >(ou égal) n^2

[Rudbat]

Merci et pour la question 1 même avec 8 chiffre u40=0 !! Normal?

[Rudbat]

Merci mais comment utilisé les logarithmes et les exponentielles Stp?

[Ben314]

Merci et pour la question 1 même avec 8 chiffre u40=0 !! Normal?

Ben, vu qu'on te demende une précision à 10^-8 prés, tu dit que U(40)=0 à 10^-8 prés....
(et tu commences à supposer trés fort que la suite tend vers 0...)

Merci mais comment utilisé les logarithmes et les exponentielles Stp?

Tu écrit que puis tu évalue la limite de cette quantité...

[Rudbat]

n/2^(n)=exp(lnx-xln2) Mais ensuite? FI car
lnx==}+L'infini
xln2=}+L'infini
+l'infini-l'infini Fi

Sinon pourquoi ajoute tu un ln comme sa?
Sinon après une fois que je trouve - l'infini on fait cela
"exp(-l'infini)=}lim=0