Problème Barycentre.

[Ricolaauchocolat]

Bonjour à tous, je suis élève de Première S et je rencontre en ce jour un petit problème pour un dm de math à rendre pour demain.
Voici l'exercice:
ABC est un triangle. I est le milieu de [AC] et D le symétrique de B par rapport à C. Les droites (AD) et (BI) se coupent en G.
Enfin, on appelle K le point d'intersection des droites (CG) et (AB). On veut prouver que A est le milieu de [BK].
1°) On considère D et I comme barycentres de deux sommets du triangle ABC munis de coefficients. Préciser ces coefficient. Bon pour cette question, évidemment aucun problème.
2°) Déterminer trois réels a, b et c tels que G soit le barycentre de (A,a) (B,b) et (C,c). Conclure .

Pour celle-ci je n'ai même pas une piste concrète pour trouver la solution, j'espère donc que quelqu'un pourra ici m'aider et je vous en remercie d'avance. Cordialement Ricolaauchocolat

[Ben314]

Bonjour,
A mon avis, si tu a vu la notion d'associativité des barycentres, c'est celle que tu doit utiliser ici.
Il faut aussi utiliser le fait que, comme G est sur la droite (AD), il est barycentre de A et D affecté de coeff. a et d (inconnus pour le moment)
De même, comme G est sur (BI) il est ...

[Ricolaauchocolat]

Merci beaucoup pour cette aide, je vais explorer de suite cette piste!

[Ricolaauchocolat]

si on suit ce que vous dites,
G barycentre de (A,a) (D,d) car G sur (AD)
G barycentre de (B,b) (I,i) car G sur (BI)
G barycentre de (C,c) (K,k) car G sur (CK)

Mais je ne vois pas vraiment où cela peut nous mener, l'associativité ne se fait elle pas lorsque nous avons un barycentre de plus de deux points ?

[Ben314]

si on suit ce que vous dites,
G barycentre de (A,a) (D,d) car G sur (AD)
G barycentre de (B,b) (I,i) car G sur (BI)
G barycentre de (C,c) (K,k) car G sur (CK)
Mais je ne vois pas vraiment où cela peut nous mener, l'associativité ne se fait elle pas lorsque nous avons un barycentre de plus de deux points ?

Pour les deux premiers, O.K., mais pas pour le troisième : pour le moment on n'a pas démontré que G est sur la droite (CK) [en plus, dire que G appartient à deux droite, ça semble bien suffisant pour arriver à le déterminer]

Ensuite, c'est là qu'il faut utiliser l'associativité des barycentres pour transformer les deux "formules" en formules du type "G est barycentre de (A,?) (B,?) (C,?)"
Dans la première, il faut donc "enlever" le point D, or D est le barycentre de (B,-1) et (C,2) [tu avait bien trouvé ça au 1) ?] donc ...

P.S. Ici, on utilise l'associativité "à l'envers" pour AUGMENTER le nombre de points.

[Ricolaauchocolat]

Pour les deux premiers, O.K., mais pas pour le troisième : pour le moment on n'a pas démontré que G est sur la droite (CK) [en plus, dire que G appartient à deux droite, ça semble bien suffisant pour arriver à le déterminer]

Ensuite, c'est là qu'il faut utiliser l'associativité des barycentres pour transformer les deux "formules" en formules du type "G est barycentre de (A,?) (B,?) (C,?)"
Dans la première, il faut donc "enlever" le point D, or D est le barycentre de (B,-1) et (C,2) [tu avait bien trouvé ça au 1) ?] donc ...

P.S. Ici, on utilise l'associativité "à l'envers" pour AUGMENTER le nombre de points.

Merci pour cette aide précieuse. Cependant G est sur (CK) puisque k est le point d'intersection de (CG) et (AB)

[Ben314]

Merci pour cette aide précieuse. Cependant G est sur (CK) puisque k est le point d'intersection de (CG) et (AB)

Tu as parfaitement raison, mais.... cela ne te sert à rien vu que pour le moment on ne sait pas où est K sur la droite (AB) donc on ne sait pas écrire K comme un barycentre...