on vient d'aborder des exercices sur les séries de fourrier et j'ai un petit problème concernant ceci.
En fait on nous donne f(t)=sh(xt) et on demande de donner la série de fourrier
que j'ai pu trouver mais on nous demande d'en déduire que l'intégrale entre 0 et +oo de (cosxt/ch(t)dt)=(pi/2ch(pi*x/2);
Je voudrais savoir comment en déduire ceci et comment calculer les intégrales a l'aide des séries de fourrier.
Merci
Serie de fourier....
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par Ben314 » 09 Jan 2010, 10:08
Salut,
Trés souvent, dans ce genre d'exo., le "en déduire que" utilise l'égalite de Parsevel :
http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89galit%C3%A9_de_Parseval
qui est une conséquence de la convergence en moyenne quadratique.
Sauf que, j'ai la flemme de faire les calculs pour voir si c'est bien le cas dans ton Exo. et que je pense que ta fonction f n'est pas celle que tu dit, mais la fonction ? périodique définie par f(t)=sh(xt) sur l'intervalle [?,?]
Trés souvent, dans ce genre d'exo., le "en déduire que" utilise l'égalite de Parsevel :
http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89galit%C3%A9_de_Parseval
qui est une conséquence de la convergence en moyenne quadratique.
Sauf que, j'ai la flemme de faire les calculs pour voir si c'est bien le cas dans ton Exo. et que je pense que ta fonction f n'est pas celle que tu dit, mais la fonction ? périodique définie par f(t)=sh(xt) sur l'intervalle [?,?]
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par divo » 09 Jan 2010, 17:32
;)t appartient a ]-pi,pi[ f(t)=sh(xt)
La série de fourrier que jai trouvé est :
f(t)=Somme de(((;);)-1)^n+1)*n*sh(pi*x))/pi*(n²+x²))sinnt
et on demande d' en déduire lintégrale, mais avec parseval on travaille avec les sommes au carré et ici on demande lintégrale entre 0 et +oo.
La série de fourrier que jai trouvé est :
f(t)=Somme de(((;);)-1)^n+1)*n*sh(pi*x))/pi*(n²+x²))sinnt
et on demande d' en déduire lintégrale, mais avec parseval on travaille avec les sommes au carré et ici on demande lintégrale entre 0 et +oo.
par Ben314 » 09 Jan 2010, 18:44
Bon, ben.... je suis sec jusque là...
Pour ceux qui on du mal à lire, on a (série de fourrier)
=\frac{2}{\pi}\bigsum_{n\geq 1}(-1)^{n+1}\frac{n.\sinh(\pi x)}{x^2+n^2}\sin(nt)\)
pour 
et 
et on veut en déduire que, pour tout, on a :
}{\cosh(t)}\,dt\ =\ \frac{\pi} {2\cosh(\frac{\pi}{2}x)})
...
P.S. j'ai vérifié, cela semble juste....
Pour ceux qui on du mal à lire, on a (série de fourrier)
et on veut en déduire que, pour tout
P.S. j'ai vérifié, cela semble juste....
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par divo » 09 Jan 2010, 21:50
Exactement c'est ma question.
(j'ai des difficultés a mettre correctement les symboles mathématiques).
(j'ai des difficultés a mettre correctement les symboles mathématiques).
par lysli » 09 Jan 2010, 23:22
divo a écrit:(j'ai des difficultés a mettre correctement les symboles mathématiques).
Dans ce cas, utilise [ TEX] a\times b[/TEX] sans espace
par Ben314 » 09 Jan 2010, 23:47
A vérifier et justifier (permutation somme/intégrale ) :
}{\cosh(t)}\,dt\)
\left(2\bigsum_{n=0}^{\infty} (-1)^ne^{-(2n+1)t}\right)dt\)
^n\bigint_{0}^{\infty}\ \cos(xt)e^{-(2n+1)t}dt)
^n\frac{2n+1}{(2n+1)^2+x^2}\)
}{\sinh(\pi x)}\)
}\)
car
\ =\ \frac{2}{\pi}\bigsum_{m=1}^{\infty}(-1)^{m+1}\frac{m.\sinh(\pi x)}{x^2+m^2}\sin(m\frac{\pi}{2})\ =\ \frac{2}{\pi}\sinh(\pi x)\bigsum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{2n+1}{(2n+1)^2+x^2})
car
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