étude d'une fonction

par **jojolenantais** » 22 Déc 2009, 13:07

Bonjour, j'ai un devoir maison à faire pendant les vacances. Je le trouve assez complexe car on ne nous donne pas directement l'expression de f(x)

voici l'exercice :

Données : pour tout x

[0;+infini[, f(x) * f'(x) = 1 et f(0) = 1 -> (1)

Dans la 1ère partie il faut déterminer des coordonnées de points avec la méthode d'Euler. Donc là pas de soucis.

Partie B :

On se propose de démontrer qu'une fonction vérifiant (1) est nécessairement strictement positive sur [0;+infini[

1.Montrer que si la fonction f vérifie (1) alors f ne s'annule pas sur [0;+infini[.
2.On suppose que la fonction f vérifie la condition (1) et qu'il existe un réel strictement positif tel que f(a)<0. En déduire que f(x)=0 admet au moins une solution dans l'intervalle [0;a]
3.Conclure.

Je vois comment il faut procéder pour faire cette partie (enfin je pense).

-Il faut calculer la limite en +infini, mais comme on a pas l'expression de f(x) je ne pense pas que ce soit possible.
-Ensuite il faut calculer f'(x) et trouver son signe mais même problème que pour la question précédente... On peut quand même voir que f'(x)=1/f(x) mais on ne connait pas le signe de f(x) donc on ne peut pas déduire celui de f'(x) ni faire le tableau de variation et donc pour faire la suite de l'exercice c'est compliqué.

Merci d'avance pour votre aide.

par **zaze_le_gaz** » 22 Déc 2009, 13:22

pourquoi veux tu calculer la limite en l'infini?

par **jojolenantais** » 22 Déc 2009, 14:11

pour établir un tableau de variation complet pour prouver qu'elle est bien positive sur [0;+infini[

par **Ben314** » 22 Déc 2009, 14:20

Tu n'a pas besoin de chose 'aussi compliquées' pour cette partie II)...
Suis simplement les questions
1) pourquoi ne s'anulle t'elle pas (réponse = 1/2 ligne...)

par **jojolenantais** » 22 Déc 2009, 16:24

peut-être car f(x) * f'(x) = 1 donc si elle s'annulerait, le produit des 2 donnerait 0... ?

par **jojolenantais** » 23 Déc 2009, 17:05

c'est ça ?

par **zaze_le_gaz** » 23 Déc 2009, 17:10

oui c'est ca

par **benekire2** » 23 Déc 2009, 17:12

jojolenantais a écrit:c'est ça ?

oui, c'est aussi bête que cela.
Edit: grilled

par **jojolenantais** » 23 Déc 2009, 17:12

Pour la question 2, je ne comprend pas trop car on dit que f ne s'annule pas sur [0;+infini[ et après on nous demande de déduire une solution de f(x)=0 ... :hein:

par **benekire2** » 23 Déc 2009, 17:14

oui on suppose, qu'il y a a tel que f(a) négatif, et donc tu arrive sur une contradiction

par **benekire2** » 23 Déc 2009, 17:17

c'est encore tout bête la 2, peut être déroutant car tu n'a pas l'habitude de travailler avec des fonctions définies de cette manière.

Ta fonction est continueet donc avec f(0)=1 et f(a)<0 tu aura forcément c tel que f(c)=0 et du coup, la fonction ne vérifie pas (1) donc f est strictement positive !!

par **jojolenantais** » 23 Déc 2009, 17:18

on va voir que ce n'est pas possible je pense, mais pourquoi on me demande d'en déduire que f(x)=0 admet au moins une solution dans l'intervalle [0;a] ? Je ne vois pas comment il faut procéder en fait pour voir que ce n'est pas possible.

par **benekire2** » 23 Déc 2009, 17:25

bon, un exemple s'impose,

f(0)=1

et mettons que tu aie pris a=4 et que f(4)=-2

sur l'intervalle [0;4] ta fonction part de 1 et va jusqu'à -2, que peut tu en déduire ?

par **jojolenantais** » 23 Déc 2009, 17:38

que seul 0 est compris dans cet intervalle

par **benekire2** » 23 Déc 2009, 17:52

excuse moi, ta fonction part de 1 pour aller a -2 donc elle coupe forcément l'axe des abscisses ( c'est ce que tu dois en déduire) ==> c'est absurde car en ces cas là la fonction ne vérifierais pas (1) et donc tu en déduis que ta fonction est forcément positive.

PS: Et par la même occasion qu'elle est strictement croissante sur tout son ensemble de définition

par **jojolenantais** » 23 Déc 2009, 17:56

a ouè ok! j'ai compris :we: ^^ Merci de votre aide ! je vais me lancer sur la partie C maintenant. Je repasserais sur ce sujet si je bloque.

par **benekire2** » 23 Déc 2009, 18:10

fais nous part de ta partie C :id: ( c'est que j'ai envie de voir en fait ... )

et bonne chance !!

par **jojolenantais** » 23 Déc 2009, 19:03

si tu y tiens vraiment ^^ :

Partie C :

1. Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I. Déterminer une primitive de la fonction u*u' sur cet intervalle.
2. En déduire que si f est telle que, pour tout x

[0 ; + infini[ f(x)*f'(x)=1 alors il existe une constante C telle que pour tout x

[0; +infini[ (f(x))² = 2x+C
3. On rappelle que f(0)=1. Déterminer l'expression de f(x) pour x réel positif.
4. En déduire les valeurs arrondies au millième de f(0.1), f(0.2), f(0.3) f(0.4), f(0.5), puis les comparer avec les valeurs obtenue dans la Partie A.

Pas simple tout ça.

1. u²/2 je pense
2. .. ?
... :hein:

par **benekire2** » 24 Déc 2009, 09:08

c'est en effet la bonne primitive, poursuit :)

par **jojolenantais** » 29 Déc 2009, 13:07

Je ne vois vraiment pas comment faire pour la 2ème question ...

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