Fonction définie par une série

[Otacon]

Bonsoir,

Un exercice que j'ai eu en colle me pose un problème. Voici son énoncé :

Déterminer les fonctions de classe de dans vérifiant . On pourra s'intéresser aux extrema de .

J'ai déjà réussi à montrer que la série était absolument convergente en majorant avec .
Il est aussi évident que les fonctions constantes vérifient les conditions de l'énoncé.

Mon prof de maths m'a dit qu'il fallait rechercher un problème avec le maximum (si j'ai bien compris) pour pouvoir avancer.

D'avance merci pour votre aide et vos idées.

Otacon

[Doraki]

En gros, f(x) est une sorte de moyenne des f(x^n) ?
Il se passe quoi si f atteint son maximum y0 en un certain x0, et que ce maximum est strict ?
(par exemple si x0 est le seul x tel que f(x)=y0)

[Otacon]

Merci pour ta réponse. Voici ce que j'ai fait, je ne sais pas si c'est vraiment juste (la sommation notamment) et cela ne me permet pas de conclure vraiment.

J'ai supposé que le maximum étant atteint en un point unique . Alors, . Donc . Ce qui pose légèrement problème.

Si cela est juste, je dois donc conclure qu'il existe au moins un autre réel pour lequel le maximum est atteint. Mais comment ensuite continuer ?

[Doraki]

Ok, le maximum ne peut pas être "strict".
Mais tu peux rien conclure de plus précis sur les valeurs des f(x^k) si tu supposes juste f atteint son max en x (pour tout y, f(y) <= f(x)) ?

[euler21]

Bonsoir
le problème peut être résolu en pensant au maximum de la fonction f mais également au minimum, et ceci sur des intervalles de type [0,a] où a<1.