Equation différientielle

[alo]

Bonsoir , une petit soucis avec un exercice. Alors voila j'ai un problème de mathématiques de démographie , la je suis arrivé à une question ou l'on me demande de résoudre y'= 1/200y+0.1

Vu que c'est de la forme y'=ay+b j'ai marqué que les solutions étaient de la forme C.e^ax-b/a . J'en arrive à C.e^0.005x-20 mais je ne vois comment continué pour trouver la constante arbitraire.

Des idées ? merci :we:

[Le_chat]

Sa dépends. Que désigne y?

[alo]

Je vais vous indiquer l'énoncé ; Depuis 1950 on a constaté qu'en moyenne la population d'un pays a un taux annuel de natalité de 20 pour 1000 habitants et de 15 pour 1000 pour la mortalité. De plus 100 000 nouveaux arrivants viennent s'installer dans le pays.

Soit P(t) la population de ce pays en millions d'années , a l'instant t exprimé en années ( t>1950)

J'ai démontré que P(t+1)-P(t) = 1/200 P(t) +0.1

Soit P(t) dérivable sur 1950;+oo et on approche p(t+1)-p(t) ; c'est à dire P(t+1)-P(t)/(t+1)-t par p'(t).
Ainsi la fonction P est une solution de l'équation différentielle que j'ai énoncé et je bloque pour trouver C :hum:

[Le_chat]

Tu n'as pas de valeur de P dans ton enoncé-> tu ne peux pas trouver C.
Si a t=0 ta population vaut p0, que vaut C en fonction de p0?

[alo]

le problème c'est que je pense qu'ils attendent en réponse un réel vu qu'il faut résoudre non ?

[alo]

pas d'autres suggestions ?

[Le_chat]

Non mais un joli théorème que tu verra plus tard (ou pas) te dit que si tu ne connais pas la population a un instant donné, tu ne pourra jamais virer cette constante. Relis bien ton énoncé pour voir si tu n'as pas omis quelque chose.

[alo]

Déja merci :)

Mais déja le problème c'est que je ne vois pas comment calculer la constante mais bon peut - etre qu'on ne peut pas mais alors ca ne serait plus vraiment résoudre l'équation différentielle.

[Le_chat]

Et bien la tu l'as résolue le plus possible si je puis m'exprimer ainsi. Quand on te demande de recoudre quelque chose, on ne te demande généralement pas une seule solution (par exemple pour les équations du second degré). Donc la tu as trouvé une infinité de solutions, et il y a une infinité de réponses. :++:

[alo]

Tu vas dire que je suis contrariant mais c'est peu probable non vu que par la suite on nous demande de déterminer la fonction P sachant que P(1950)=30.5 puis d'estimer une population en 2050 donc je pensais que ca avait un lien.
Mais merci c'est très gentil déja :)

[zaze_le_gaz]

et la voila ta condition, grace a ca tu va trouver ta constante C

[alo]

Merci donc là j'ai P(t)= C*e^(0.005t)-20.

P(1950)=30.5

P(1950)= C.e^(0.005*1950)-20 = C.e^9.75-20

C= (P(1950)/e^9.75)+20 = (30.5/e^9.75)+20 = 20

Donc P(t)=20*e^(0.005t)-20

P(100)= 20*e^(0.005*100)-20 = 12.9

30.5+12.9 = 43.4 millions d'habitants en 2050.

Qu'en pensez vous ?

[zaze_le_gaz]

P(1950)= C.e^(0.005*1950)-20 = C.e^9.75-20 ca je suis ok

mais apres quand tu isole le C tu fais une grosse erreur

C= (P(1950)+20)/e^9.75 sinon le reste de ta demarche me parait correcte

[alo]

je ne comprends pas trop le P(1950)+20 :s

[zaze_le_gaz]

il faut revoir tes equations du premier degré

P(1950) = C.e^9.75-20

C.e^9.75-20=P(1950)
C.e^9.75=P(1950)+20
C=(P(1950)+20)/e^9.75

sur un exemple plus simpl
3x-20=10
3X=10+20
x=(10+20)/3

[alo]

Oui en effet j'avais d'abord divisé puis transposer le +20 et ça ne fonctionnait pas. Merci , je reposterais si un problème subsiste. :hein:

[alo]

Bonsoir , je me permet de resposter dans ce topic j'ai juste une question sur la méthode pour montrer qu'une fonction est solution d'une équation différentielle.

Faut -il remplacer la fonction vers y et la dérivée de la fonction par y' et montrer l'égalité ? merci

[zaze_le_gaz]

tout a fait