La suite de Fibonacci

[pimprenelle]

Salut à tous, j'ai un DM de maths pour vendredi et il est super dur !! Je n'ai pas compris. Voilà l'énoncé :

LA suite de Fibonacci est définie par Fn+2= Fn+1 + Fn avec F0 = 0 et F1 = 1.
Nous étudions une suite définie à partir de la suite de Fibonnacci : la suites des termes positifs (Un) telle que pour tout n >1 : Un = Fn+1 / Fn

1) Montrer que Un+1 = f(Un) où f(Un) = 1 + 1/x

2) Déterminer la solution positive A de l'équation f(x) = x

3) Expliquer pourquoi, pour tout entier n > 1, Un > 1 puis démontrer que |Un+1 - A| < 1/A*|Un-A|

4) Montrer par récurrence que |Un - A| < (1/A)n-1 * |U1- A| et en déduire que la suite (Un) tend vers A, qui est le nombre d'or.

J'ai commencé à faire une récurrence pour le 1 mais je suis bloquée. Et j'ai trouvé pour le 2 A = (1+racine de 5)/ 2

Désolé je ne maîtrise pas vraiment les balises !!

Merci d'avance de votre aide !!

[Nightmare]

Salut !

1) Tout simplement : U(n+1)=F(n+2)/F(n+1)=[F(n+1)+F(n)]/F(n+1)=1+F(n)/F(n+1)=1+1/U(n)=f(U(n)) !

2) Ok

Je te laisse essayer la suite.

[pimprenelle]

Merci beaucoup, je vois que comme d'habitude, j'ai été chercher trop loin!

Pour le 4 j'ai trouvé à la première partie de la question :

(démonstration par récurrence)
• Au rang 1 :
U1 = f2/f1 = 1 (d'après la formule de l'énoncé)
donc U1 > 1

• Soit n un entier fixé. On suppose que Un > 1. On applique la fonction F décroissante.

F(Un) > F(1)
U(n+1) > 1

• Pour tout n on a Un > 1

Est-ce que la récurrence marche ici? J'ai eu 1 doute à propos du sens de variation de F qui est décroissante : F(Un) n'est pas censé etre supérieur à F(1) je crois....

Merci d'avance

[pimprenelle]

S'il vous plaît, pourriez vous m'éclairer sur la suite de l'exercice ?

merci !