Serie convergente

[amath]

bonjour !
s=1-1+1-1+...=1/2
y-at-il une indication?

[Nightmare]

Salut,

ce n'est pas tout a fait vrai ! La série ainsi posée - qui est de terme général - est divergente, grossièrement puisque son terme général ne converge pas vers 0.

Par contre, en supposant qu'on puisse donner un sens à s, on pourrait écrire que 1-s=1-(1-1+1-1+...)=1-1+1-1+...=s et que de ce fait s=1/2.

On pourrait croire cette somme naturelle, mais si on décide de regrouper autrement les 1, par exemple en écrivant que s=(1-1)+(1-1)+(1-1)+... on a évidemment s=0. Et si on décide de regroupement comme ceci : s=1-(1-1)-(1-1)-(1-1)... on a s=1.

Bon, en fait on pourrait attribuer n'importe quelle valeur à s.

[euler21]

bonjour
cette série n'est pas convergente parce que le terme générale ne tend pas vers 0. au fait il n'admet méme pas de limite

[kazeriahm]

1+s+..+s^n+...=1/(1-s) pour |s|<1

La valeur 1/2 peut donc etre vue comme une sorte de prolongement par continuite en s=-1, mais bien sur on ne peut pas sommer tel quel la série géomètrique de raison -1. En fait il me semble qu'un mathématicien célèbre (Euler ?) a développé un procédé de sommation de certaines séries divergentes qui justifie tout ca. Grâce à ce procédé on peut en particulier donner un sens à la somme 1-1+1-1... etc et en ce sens elle vaut 1/2.

[Nightmare]

Sommabilité au sens de Cesàro je crois. :happy3:

[Benjamin]

Effectivement, voir ici

[kazeriahm]

Ouais en fait il y a plein d'autres procédés de sommation, ca a l'air assez intéressant d'ailleurs, voir ici

[Joker62]

Le procédé de sommation classique qui implique le procédé de sommation de Cesàro qui implique le procédé de sommation Abélien
Avec des réciproques de temps en temps :D