Convergence d'une suite

[Salutedu38]

Bonjour,

on a u0 > 0 et u(n+1)=u(n)²/(1+nu(n))

Et je dois étudier sa convergence mais je ne vois pas du tout comment commencer ...
Est-ce que je peux commencer avec u(n+1)/u(n) et voir par rapport à 1 ?

Merci

[yos]

Bonne idée.

[Ben314]

Un minuscule rajout :
bonne idée car les u_n sont tous strictement positifs....

[Salutedu38]

Ok donc j'obtiens u(n)/1+nu(n) donc inférieur à 1, la suite est décroissante.

Mais pour après je ne vois pas, parce que quand on a l'expression de la suite on regarde si elle est minorée ou majorée comme sa on dit qu'elle converge mais la on a u(n+1)= ... donc je ne vois pas ...

[Ben314]

Ok donc j'obtiens u(n)/1+nu(n) donc inférieur à 1

Attention, c'est vrai pour n>=1 : U1=U0^2 n'est pas forcément inférieur à U0. Mais cela ne change pas grand chose pour la suite de l'exo.
Tu as donc montré que la suite est décroissante (a partir du rang 1)
Pour en déduire qu'elle converge, il te faut
1) la majorer ?
2) la minorer ?
[rayer les mentions inutiles]
N'y a t'il pas un ???orant évident ?

[Salutedu38]

donc on a la suite décroissante donc pour qu'elle converge il faut qu'elle soit aussi minorée (cf thérorème).

Donc je dirais qu'elle est minorée par 0 mais le mieux serait de le démontrer je vais y réfléchir ...

[Ben314]

C'est tout à fait ca.
Une petite remarque, normalement, pour expliquer que :
u_(n+1)/u_n < 1 => u_(n+1)Il vaudrait mieux expliquer AVANT que u_n>0....

[Salutedu38]

ben dans l'énoncé il est dit que u_0 > 0 donc il faut juste expliquer qu'au vu du dénominateur et du numérateur se sera toujours positif (avec n appartenant à grand N).

Sinon pour la minoration, il faut faire une démo typique avec 0 où il suffit juste de montrer qu'elle est minorée ?
Sinon quand on a u_n+1 en fonction de u_n, c'est quoi comme démo ? enfin ce que je veux dire c'est que quand on a u_n en fonction de n on peut montrer qu'elle est minorée avec un epsilone par exemple mais là ...

[Ben314]

Si tu as vu que u_n>0 pour tout n alors tu as ...... minoré la suite par 0

Donc.... tu as déja fait le travail.

Dans le cas général, pour montrer qu'une suite définie par récurrence est minorée, on fait souvent une..... récurrence (mais cela peut être super complexe)

[Salutedu38]

Ok ok ben je vais montrer que les u_n sont positifs, on sait que u_0 est positif donc après sa en découle surement.

Merci bien ;)

[yos]

Donc satan vers 0 (je suis pas sûr que salutdu38 ait démontré ça, mais passons).
Question facile en sus : montrer que

[ffpower]

T es sur de ton coup? On a , donc ca m'a plutot l air quadratique cette histoire..

[yos]

Ah oui! J'ai travaillé avec (bref, j'ai évacué le carré). Du coup, c'est vrai que ça va plus vite que ça.