DM 1ere S - Barycentre

[The Rock 69]

Salut à tous, me voila confronté à un problème que je n'arrive pas à résoudre :help: :

ABCD est un carré de centre O et de coté a.

1)Démontrer que le lieu géométrique des points M du plan tels que:
|| MA+5MB+MC+MD|| = 2a*racine de 2
est le cercle de diamètre [OB].

J'ai essayé plusieurs choses mais rien ne semble m'être utile et je ne vois pas trop quelle(s) formule(s) utilisée(s) :cry:
Je vous remercie d'avance de bien vouloir m'aider.

PS: MA,MB,MC et MD sont bien entendu des vecteurs :zen:

[zaze_le_gaz]

l'idée est de remplacer MA+5MB+MC+MD par un unique vecteur.
pour le faire, il faut introduire un point (G par exemple) qui serait le barycentre de points pondérés convenablement choisis

[The Rock 69]

Oui tu veux dire une égalité du genre MA+5MB+MC+MD=8MG?

J'ai déjà essayé cela mais ca ne m'a pas trop avancé, il doit me manquer quelque chose.

[maf]

Essaie d'écrire ta norme sous la forme xMO + yOB ... tu comprendra certainement après ...

Et : cercle de Thalès et Pythagore

[zaze_le_gaz]

oui c'est ca donc tu as

|| 8MG || = 2a*racine de 2

sors le 8 puis tu en deduis || MG || et tu en deduits que les points M sont sur un cercle de centre ... et de rayon ....

apres il te reste a prouver que ce centre est le milieu de [OB] et que ce rayon mesure la moitié de OB

[The Rock 69]

Désolé Maf j'ai encore jamais vu les cercles de thalès et pythagore (ou alors que très rapidement).

Sinon si je continue je trouve ||MG|| = (2a * racine de 2)/8
donc M se trouve sur le cercle de rayon (2a * racine de 2)/8 et de centre G.

Si ce que je viens de dire est vrais (une confirmation serait la bienvenue), il ne reste plus qu'à démontrer que G est le milieu de [OB]. Hors la j'avoue que je sèche encore. Je vois pas trop comment exprimer G en fonction du segment OB.

Un grand merci à vous et en particulier à Zaze.

[zaze_le_gaz]

c'est ca, reste a reduire ta fraction

pour montrer que G est le milieu de [OB], le plus simple est d'introduire un autre point, disons G1 centre de gravité du triangle ACD donc isobarycentre des points ....................
si bien que G est le barycentre de (B;5) (G1;...) et tu peux en deduire l'expression de G1G en fonction de G1B

puis, pour t'aider fais une figure, place G1 et G

[The Rock 69]

Le point G1 est donc isobarycentre des points (A;1) (C;1) et (C;1).
Donc G est barycentre de (B;5) et (G1;3)

Après je vois pas trop ce que je dois faire, je pense qu'il faut que j'arrive à démontrer que O et l'isobarycentre de G1 et G?

Ps: j'ai pas trop compris ce que tu voulais dire par exprimer l'expression de G1G en fonction de G1B.

[zaze_le_gaz]

O n'est pas l'isobarycentre de G1 et G

comment ferais tu pour placer G en sachant que G est barycentre de (B;5) et (G1;3)? quelle relation vectorielle utiliserais tu?

[The Rock 69]

O n'est pas l'isobarycentre de G1 et G

Je le savais en plus (ca se voit sur la figure) :briques: . Erreur d'étourderie de ma part.

Sinon il suffit d'écrire 5GB+3GG1=O. Faut il que je fasse intervenir le point O après?

Parceque j'ai essayé et je me retrouve avec une égalité du genre 8GO=5BO+3(G1)0 Je doute que ce soit vraiment utile.

[zaze_le_gaz]

5GB+3GG1=O.

relation de chasles 5GB+3(GB +BO+ OG1)=O. or OG1=....

puis tu te debrouille pour n'avoir plus que des vecteur GB et OB et le tour est joué

[The Rock 69]

Encore merci à toi :++:

Mais la ca fait 1h que je cherche à quoi OG1 peut il bien corespondre :hum: .

J'ai d'abord pensé à OB+BG1 ou à OG+GB+BG1.

Mais après je bloque toujours pour enlever G1 de l'expression et ne plus avoir que des vecteurs GB et OB

[The Rock 69]

Personne n'est en mesure de m'aider? :cry:

Je suis sur que si. L'exercice est presque finit en plus. Et la je bloque et c'est vraiment très frustrant (d'autant que l'exercice est pour demain).

Merci de prendre un peu de votre temps s'il vous plait.