Arithmétique Ts

[boss857]

Bonjour,

j'ai un dm de spé a finir pour demain et je bloque a deux questions.

voici l'enoncé:

1)x et n désignant des entiers premiers entre eux demontrer que quels que soient les entiers relatifs a et a'
ax congrue a' mod n implique a congrue a' mod n

ici je ne vois pas vraiment comment le demontrer mis a paert que c'est la propriété des congruences

2)si n entier naturel tel que n congru 3 mod 4 alors le reste de 5^n par 13 est egal a 8

ici je ne vois pas comment passé de l'hypothese a 5^n

[girdav]

Salut.
Dans ce qu'on te demande de montrer c'est la réciproque qui est toujours vraie. Sous l'hypothèse que l'on a il est raisonnable d'utiliser Bezout.

[Florélianne]

bonsoir,
si n entier naturel tel que n congru 3 mod 4 alors le reste de 5^n par 13 est egal a 8
calcule les puissances de 5 et leurs restes dans la division euclidienne par 13
5^1 = 0*13 +5
5²=1*13+12
5^3=9*13+8
etc.
constate! puis sachant que si x = p [13] et y= q [13]
x*y = pq [13] démontre-le...
bon travail

[bend]

il faut montrer que si n= 3 [4] alors 5^n = 8 [13]

indication de réponse :

1 -- montre que 5^n - 8 = 13*K + 8*((40^K')-1) // avec (K,K') appartiennent à Z
2 -- Remarque que 40 = 1 [13]
3 -- Conclure que (40 ^ K') -1 = 0 [13]
4 -- Deduire au final que 5^n -8 = 0 [13]
2 --Conclure le résultat