Ens. des parties équipotents

[arundel]

Bonjour.
La démonstration est qualifiée de facile mais je bute quand même dessus.
Voici la question : démontrer que si 2 ensembles sont équipotents leurs ensembles des parties sont également équipotentes.
Merci de votre aide.

[girdav]

Bonjour.
J'espère ne pas dire de bêtise en disant que comme les ensembles disons et sont équipotents il existe bijective.
A partir de là, tu dois pouvoir construire une bijection de dans gra;)e à .

[arundel]

Bonjour.
La démonstration est qualifiée de facile mais je bute quand même dessus.
Voici la question : démontrer que si 2 ensembles sont équipotents leurs ensembles des parties sont également équipotentes.
Merci de votre aide.

Par définition de l'équipotence, il existe effectivement au moins une bijection entre E et F. Mon probème est précisément de montrer qu'il en existe une entre P(E) et P(F) (ou bien deux injections en sens contraires pour appliquer Cantor-Bernstein).
C'est là que çà coince ...

[girdav]

On peut poser avec et puis montrer que est bijective.

[alavacommejetepousse]

à A partie de E on associe B partie de F dont les éléments sont les images des éléments de A par la bijection phi; cette application phi est une bijection( à prouver)

[arundel]

Merci de ton aide, je crois avoir trouvé une solution que voici.
E et F étant équipotents, soit ;) une bijection entre eux et ;) la fonction d'ensembles associée à ;).
Il suffit de montrer que ;):P(E);)P(F) est injective puis de faire de même dans l'autre sens avec ;):P(F);)P(E) pour utiliser le th. de Cantor Bernstein.

1) Si E= ø alors P(E)={ø} d'où il résulte que ;) est trivialement injective.
sinon
2) P(E) possède au moins 2 éléments A et B différents et ;)x;)E tel que x;)A et x;)B (ou l'inverse) ce qui entraine que ;)(x););)(A)=;)(A). ;) étant injective ;)(x););)(A).
Donc ;)(A););)(B) et ;) est injective. CQFD.

Ca te parait OK ?

En tout merci de m'avoir donné l'idée de départ.

[girdav]

Je suppose que tu veux dire que .
Sinon on peut directement démontrer que l'application en question est bijective.
Car utiliser Cantor-Bernstein me paraît un peu comme un canon pour tuer une mouche.
Après ça dépend si l'énoncé de demande de le montrer avec ce théorème.

[arundel]

Effectivement j'ai fait une faute de frappe, je voulais dire ;)(x) ;) ;)(B).

D'autre part tu as raison, on peut montrer que ;) est surjective si ;) l'est
mais est-ce vraiment plus concis qu'invoquer la symétrie fournie par ;) pour une l'injection de P(F) dans P(E) ? ...
A+