Ens. des fonctions continues strictement croissantes [0,1]
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par RoadToEngineering » 12 Jan 2022, 15:24
Bonjour,
L'exercice consiste à trouver l'adhérence et l'intérieur de l'ensemble des fonctions continue et strictement croissantes sur [0,1]. Je n'arrive pas à trouver son intérieur (je sens que l'ensemble est un ouvert mais je n'arrive pas à le prouver).
Merci.
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tournesol
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par tournesol » 12 Jan 2022, 15:29
Il faut une topologie pour parler d'adhérence et d'intérieur .
Quelle est-elle ?
par RoadToEngineering » 12 Jan 2022, 18:07
Nous sommes sur l'espace des fonctions continues sur [0,1] muni de la norme infinie
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GaBuZoMeu
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par GaBuZoMeu » 12 Jan 2022, 19:59
Bonjour,
Une fois ceci précisé, on peut discuter.
je sens que l'ensemble est un ouvert
Méfie-toi de ton odorat. C'est en fait vraiment l'opposé.
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mathelot
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par mathelot » 12 Jan 2022, 20:00
Bonjour,
Une suite (
de fonctions continues , strictement croissantes sur [0;1], suite de Cauchy pour la norme infinie,est convergente. Elle admet pour limite , quand n tend vers
une fonction continue, croissante au sens large.
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tournesol
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par tournesol » 12 Jan 2022, 20:04
Je manque un peu de temps pour tout détailler .
L'adhérence , c'est l'ensemble des fonctions continues croissantes .
Il est facile de montrer que toute limite uniforme de fonction strictement croissante est croissante .
Il est connu que la convergence uniforme conserve la continuité .
Reste à montrer que toute fonction continue croissante f est limite uniforme d'une suite (gn) de fonctions continues strictement croissante .
je te propose pour k compris entre 0 et n :
gn(k/n)=f(k/n)+k/(n^2) et gn affine sur tout intervalle [k/n ;(k+1)/n]
On peut montrer que |gn(x)-f(x)|<1/n
Ton intérieur est vide car toute fonction continue strictement croissante f est la limite uniforme d'une suite de fonctions (gn) continues qui ne sont pas strictement croissantes .
je te propose gn(0)=f(1/n) , gn constante sur [0;1/n] , et gn=f sur [1\n;1]
par RoadToEngineering » 13 Jan 2022, 13:26
Merci pour vos réponses, et merci à tournesol pour ta réponse détaillée, je comprends maintenant.
Pour montrer que toute fonction croissante f est limite d'une suite de fonctions strictement croissantes f_n (limite et fonctinos de la suite sont continues), j'ai pris f_n(x)=f(x)+x/n , si je ne me trompe pas cela convient bien ?
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tournesol
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par tournesol » 13 Jan 2022, 14:36
Ton illustration est beaucoup plus simple en effet . Joli .
Il ne te reste plus qu'à montrer pour le fun que l'ensemble des fonctions continues sur [0;1] et strictement croissante est connexe par arcs ...
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tournesol
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par tournesol » 14 Jan 2022, 14:20
Dans mon message du 12 01 19h04
j'ai écrit:"il est connu que la convergence uniforme conserve la continuité"
Cette phrase est inutile car la definition séquentielle de l'adhérence de F dans E est:
f adhérent à F ssi f appartient à E (donc supposée continue) et f est limite d'une suite d'éléments de F .
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