Suites et nombres complexes

[Srom]

Bonjour,
voila je dois faire une démonstration concernant des nombres complexes et des suites :

Soit n un entier naturel ,

Démontrer que :


je n'ai absolument aucune idée de comment faire donc si vous pouviez m'aider en me mettant sur la voie.
Voila merci d'avance.

Srom

[MacManus]

Salut

essaye de transformer l'expression de gauche, pour obtenir une expression avec une seule exponnentielle : un signe somme va apparaitre en exposant.

[Srom]

j'ai essayé d'exprimer la partie gauche sous forme de suite
ça donnerai donc :



Ce qui équivaut à dire


et

je sais pas si ça sert a quelque chose de faire ca mais je vois pas comment faire après

[MacManus]

Non, tu ne peux pas définir de la sorte car les autres termes aussi sont exprimés en fonction de n, et puis pas besoin de récurrence ici et les cosinus et sinus compliquent la tâche. En fait, je pense plutôt à la chose suivante :

Il faut utiliser une des propriétés de l'exponnentielle ici (par exemple x = , et on généralise cette propriété pour n-1 éléments). On peut écrire :
= = (il s'agit bien de l'exponnentielle d'une somme)

mais on a = ... ?

[Srom]

désolé mais je ne comprend pas cette formule la seul utilisation des exponentielles que j'ai faite jusque la c'est pour de simples nombres complexes

[MacManus]

= =

et
et donc , car
mais bon si ça ne te dis rien je vais y réfléchir autrement

[MacManus]

j'ai essayé d'exprimer la partie gauche sous forme de suite
ça donnerai donc :

c'est faux car pour , tu ne tiens pas compte des autres termes en n, et puis on aurait dans ce cas uniquement

[MacManus]

J'ai ici une autre façon de faire, peut-être plus compréhensible pour toi :

= = (car , puisque et ) et donc, on peut écrire que :
= =

or,
d'où : = =

mais on sait que et donc on a : =

[Srom]

j'ai compris !

merci beaucoup