La continuité d'une application

[lost-_-]

Bonjour,

J'ai besoin de votre aide afin de résoudre cet exo :


on a une application f définie comme suit:
f: R² -> R
(x,y) -> xy
(respectivement de C² dans C)


Etudier la continuité de cette application.


(Indication: on peut considérer dans R² la distance :
d((x,y),(x0,y0))= sup (|x-x0|,|y-y0|)


Merci d'avance :happy2:

[Nightmare]

Salut !

Et donc? Qu'est-ce que tu n'arrives pas à faire?

[lost-_-]

Salut,


On a d((x,y),(x0,y0))= sup (|x-x0|,|y-y0|)
On suppose que d((x,y),(x0,y0))< ;) et on cherche à prouver que cette supposition implique d(f(x,y),f(x0,y0)< ;)

on a On suppose que d((x,y),(x0,y0)) < ;)
donc sup (|x-x0|,|y-y0|) < ;)

donc |x-x0|<;) et |y-y0|<;)

je m'arrete ici


....??????????

[Nightmare]

Attention !! Ton application est un champ scalaire : à valeur dans R, on a donc pas la même distance sur l'ensemble d'arrivé et l'ensemble de départ !

[lost-_-]

Pardon, j'ai pas saisi ce que vous avez dit..

[Nightmare]

Tu as écrit qu'on souhaite montrer que pour tout e blablabla "d((x,y),(x0,y0)) < a => d(f(x,y),f(x0,y0)) < e

Dis moi, que veut dire "d(f(x,y),f(x0,y0))" ?

[lost-_-]

pour établir la continuité d'une application d'un espace métrique à un autre
il faut vérifier que la distance entre les coordonnées inférieur à ;), implique que la distance entre leurs images est inférieur à ;)

[Nightmare]

Oui, ok, c'est la définition. Sauf que la métrique (ou distance si tu préfères) peut différer entre les deux espaces métriques.

Dans ton cas, tu sembles supposer qu'on munie R² et R de la même distance d. Je te demande donc quelle est la signification de d dans R !

[lost-_-]

Je pense que puisque on est dans R² , on peut passer à la norme.


Dans R² en tant que l'espace du départ d((x,y),(x0,y0))= sup (|x-x0|,|y-y0|)

Dans R en tant que l'espace d'arrivée d(f(x,y),f(x0,y0))=|xy - x0.y0|

[lost-_-]

un ami à établié cette inégalité :

|xy - x0.y0|< ;) (;) + |x0| + |y0| )

et il en a déduit qu'il suffit de prendre ;) = inf ( 1 , ;)/(1 + |x0| + |y0|) )

pour l'inégalité c'est bon, on peut la conclure en utilisant le fait que |x-x0|<;) et |y-y0|<;) ,

Mais pour la valeur de ;) , je ne vois pas du tout comment l'établir...


Merci

[lost-_-]

j'ai vraiment besoin d'aide, en attendant votre réponse... :cry:

[lost-_-]

up!! :help:

[Finrod]

Vérifie que

majore par la somme des valeurs absolues, puis utilise le fait que x et sont bornés.

Le truc avec le ne m'inspire personnellement pas des masses.