Non-continuité d'une application linéaire

[legeniedesalpages]

Bonjour,

je bloque sur ce problème:

On considère la norme sur définie par .

Pour tout , on pose .

Je dois montrer que si , n'est pas continue sur , en utilisant les polynômes et .

Déjà on a , et donc si , et comme est linéaire, elle n'est pas continue.

Après je ne vois pas comment faire pour le cas .

merci pour vos indications.

[abcd22]

Bonjour,
Ben c'est marqué « en utilisant les polynômes et », tu as utilisé seulement les premiers pour l'instant...

[busard_des_roseaux]

Bjr,

soient
et

et tendent vers le polynome nul (pour la norme N)
mais
quand pour a>1.

[legeniedesalpages]

ok, je crois que j'ai compris.

si , alors , d'où ,

alors que .

Merci.

[legeniedesalpages]

Est-ce que est complet? :hein:

[Doraki]

Surement pas.

[legeniedesalpages]

Ok, je crois que cet exemples convient:

est de Cauchy dans , elle ne peut avoir comme limite que la fonction qui n'est pas un élément de .

Merci.

[mathelot]

Ok, je crois que cet exemples convient:

est de Cauchy dans , elle ne peut avoir comme limite que la fonction qui n'est pas un élément de .

Merci.

attention

La norme N() est celle de la convergence uniforme sur [0,1]. Une suite de Cauchy de fonctions polynômiales pour cette norme ne peut avoir pour limite qu'une fonction continue sur [0,1].
or
si

si

n'est pas de Cauchy car sa limite n'est pas continue en x=1.

1) la topologie de la convergence simple n'est pas métrisable.

2) tout espace vectoriel normé possède un complété. Le complété
de cet espace çi doit être un espèce de monstre "algébrico-analytique",
assez pathologique. En général, les suites de Cauchy de polynômes, pour la norme N(), ne convergent pas ponctuellement en dehors de l'intervalle [0,1].