legeniedesalpages a écrit:Ok, je crois que cet exemples convient:
est de Cauchy dans
, elle ne peut avoir comme limite que la fonction
qui n'est pas un élément de
.
Merci.
attention
La norme N() est celle de la convergence uniforme sur [0,1]. Une suite de Cauchy de fonctions polynômiales pour cette norme ne peut avoir pour limite qu'une fonction continue sur [0,1].
or
si
si
n'est pas de Cauchy car sa limite n'est pas continue en x=1.
1) la topologie de la convergence simple n'est pas métrisable.
2) tout espace vectoriel normé possède un complété. Le complété
de cet espace çi doit être un espèce de monstre "algébrico-analytique",
assez pathologique. En général, les suites de Cauchy de polynômes, pour la norme N(), ne convergent pas ponctuellement en dehors de l'intervalle [0,1].