Démonstration par récurrence

[Babouchka]

Bonjour, Alors voila de je rame sur cet exercice de mon DM que je dois malheuresement rendre demain. Ne pouvant pas trop compter sur mes camarades, je vous demande votre aide. Merci d'avance.

P est la fonction polynome défini sur R par: P(x)=(Xcube/3)-(xcarré/2)+(x/6)
1-Calculer pour tout réel, P(x+1)-P(x).
2-Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, P(n) appartient à N.
3-Démontrer que pour tout entier naturel n
a) La somme des kcarré de 0 à n = (n(n+1)(2n+1))+6
b) n(n+1)(2n+1) est un multiple de 6.

je trouve

P(x+1)= (2xcube+3xcarré+x)/6

P(x+1)-P(x)= 3xcarré c'est juste?

[Ericovitchi]

non

[Babouchka]

Ça y est j'ai retrouvé le x carré.

Par contre comment démontrer que P(n) appartient à N?
Je peut essayer de trouver P(n) supérieur à 0 mais ça n'en fera pas un entier naturel.

Tous les carrés sont des entiers naturels?

[Babouchka]

P(0)= 0 donc la proposition est vraie pour n=0

P(n+1)-P(n)=x² ;) P(n+1)=x²+P(n)
comme P(n) ;) N et que x² ;) N alors P(n+1) ;) N

mais x² appartient toujours à N?

[Ericovitchi]

mais non P(n+1)-P(n)=n² donc évidemment que n² appartient toujours à n