Limites d'une fonction à 2 variables

[snoopy59]

Bonsoir,

Je bloque sur cet exercice; le but étant de trouver s'il existe une limite en (0,0) pour:




Si ces limites existent elles tendent bien sur vers 0

Pour voir ou pas s'il elles existent, il faut soit les majorer soit trouver 2 limites différentes
Mais j'arrive ni l'un ni l'autre
j'ai essayer x=y; rcosO, rsinO, 1/n puis faire tendre vers 0 mais je vois pas d'incohérence et j'arrive pas non plus à majorer.

Merci d'avance

[fourize]

bonjour;

pour la premiere utilse (a-b)² >= 0 avec a=x^3 et b=x²
pour majorer !

[snoopy59]

grace à ce que tu m'a donné j'ai juste trouvé que l'expression est pour tout x, y inférieur à 1/2
Mais cela ne signifie pas forcement que la limite est 1/2 , il faudra pouvoir faire tendre vers (0,0)

[Zavonen]

Pour la première considère les applications f: (x,y) --> (x^3,y^2) et g:(X,Y) -->XY/(X²+Y²)
Ton application est la composée des deux.
Il est absolument clair que lim f en (0,0)=(0,0)
Quand à g ??? Passe en polaires X=cos(theta)rho, Y=sin(theta)rho
Regarde un peu ce qu'il se passe quand tu tends vers (0,0) suivant une droite faisant un angle theta avec l'axe des abscisses.

[snoopy59]

un grand merci pour la premiere, j'ai trouvé !

[Black Jack]

Il faut trouver si la limite est la même quelle que soit la façon (le chemin) dont x et y tendent vers 0.

Exemple :

f(x,y) = x³y²/(x^6+y^4)

Si on choisit le chemin x = y pour faire tendre x et y vers 0
on a lim(x->0 , y->0) f(x,y) = lim(x -> 0) [x³x²/(x^6+x^4)] = lim(x -> 0) [x^5/(x^6+x^4)] = lim(x -> 0) [x/(x²+1)] = 0/1 = 0

Mais, si on choisit le chemin y² = x³ pour faire tendre x et y vers 0
on a lim(x->0 , y->0) f(x,y) = lim(x -> 0) [x³.x³/(x^6+x^6)] = lim(x -> 0) [x^6/(2x^6)] = 1/2

On voit donc que la lim de f(x) = x³y²/(x^6+y^4) pour x et y tendant vers 0 dépend du chemin suivi pour faire tendre x et y vers 0.
Donc, la lim de f(x,y) en (0;0) n'existe pas (puisqu'elle n'est pas unique).

Voir si c'est ce genre de réponse que tu veux.

Si oui, alors cherche pour le second.

:zen:

[Zavonen]

Pour la seconde je te conseille de passer encore par la forme polaire. Cependant les résultats sont différents.