étude de limites continuité fonction à deux variables

[wkj]

Salut,

je sais qu'il n'y a pas de méthode générale pour étudier ça mais à partir de la définition de la continuité/limite en un point adhérent d'un sous ensemble de , je n'arrive pas à démontrer sur l'existence ou non de la dite limite, justement car il n'y a pas de méthode unique et que c'est du cas par cas.

quelqu'un pourrait me donner quelques astuces qui font le déclic ? pour par exemple l'immense majorité des fonctions du type avec P et Q deux polynômes à deux variables de degré quelconque

[Skullkid]

Bonjour, si tu bloques, la première chose à faire est en général de tester quelques cas particuliers pour voir si tu peux conjecturer le résultat (je ne m'intéresse évidemment qu'aux cas où f n'est pas définie en le point en lequel tu cherches la limite).

Par exemple regarde ce qui se passe quand l'une des deux variables est fixée, ou quand les variables sont liées par une relation simple du type affine ou "power-law" y = x^k. Si tu tombes sur des limites différentes, tu as un contre-exemple qui prouve l'absence de limite.

Sinon, il y a de fortes chances que ça converge et tu as trouvé un candidat limite l, donc tu vas essayer de prouver que f-l tend vers 0, ce qui en général va se faire en majorant |f(x,y)-l| par quelque chose qui tend vers 0. Une astuce à retenir est le passage en polaires : poser r = sqrt((x-x0)^2+(y-y0)^2), où (x0,y0) est le point en lequel tu cherches la limite, peut permettre de simplifier les expressions et de majorer par une fonction de r qui tend vers 0 quand r tend vers 0.

[wkj]

quand le dénominateur est de la forme x^2+y^2 le changement de variable est immédiat, quand est il pour des fonction rationnelles quelconques ?
Dois-je me trimballer la définition de la limite/continuité à chaque fois que je bloque ?

par exemple en (0,0), comment s'y prendre ? (le problème est de s'y prendre à l'avance/avoir de l'initiative, ce que je n'ai pas sur ce genre de problème)

je ne vois pas de majoration évidente (peut être ), pas de relation d'une variable à l'autre et le changement en polaire risque de compliquer les choses.

EDIT : et mais
donc la limite n'existe pas ?

j'avoue avoir trouver un peu par hasard, comment faire pour ne pas rater ce genre de trouvaille, comme tu dis s'y on arrive pas c'est que la limite doit surement exister, mais le risque zéro n'existe pas bien sur ?

[Skullkid]

EDIT : et mais
donc la limite n'existe pas ?

Voilà

Tu n'auras jamais à utiliser la définition epsilonesque de la limite pour étudier la convergence d'une fonction particulière donnée. Les seules cas où tu utilises la définition c'est quand tu es obligé de le faire, c'est-à-dire quand tu es dans un cadre assez général (fonction dont on connaît uniquement quelques propriétés) et qu'aucun théorème du cours n'a l'air de pouvoir t'aider.

Il n'y a pas de recette miracle, mais le cheminement que je t'ai donné (d'abord regarder des cas particuliers pour voir si on tombe sur un contre-exemple, puis, si on ne trouve pas de contre-exemple, essayer de prouver la convergence en majorant) est toujours utile.

Normalement on ne va pas s'amuser à te donner des fractions horribles, ce sera toujours 1 ou 2 termes, rarement 3, au numérateur et au dénominateur. Pour ce qui est des cas particuliers à tester, c'est en regardant la fonction que tu peux les intuiter, c'est une question d'entraînement. Cela dit, c'est bien en général de commencer par tester f(x,0), f(0,y), f(x,x) et f(x,-x) pour les limites en (0,0), tout en gardant en tête les trucs du genre f(x^a,y^b) si jamais il y a des termes de la forme x^b+y^a.

[deltab]

bonjour,

Ce que je vais dire concernera le cas ou ( et est une fonction rationnelle avec
De plus, les méthodes que je vais citer ne permettent pas nécessairement de répondre

1) Il faut se rappeler qu'un polynôme T(x) à une seule variable est équivalent à son monôme non nul de plus bas degré. Utiliser cette propriété en posant , , , on aura une fonction rationnelle en . On pourra aussi utiliser

2) Si P et Q sont tous les deux homogènes, passer en coordonnées polaires ou poser

[Ben314]

par exemple en (0,0), comment s'y prendre ?
...et le changement en polaire risque de compliquer les choses.

Juste un mot pour dire que, à mon sens, le passage en polaire, ça simplifie toujours au moins un peu.
Par exemple, pour ta fonction, tu as (aprés simplification par ) et là, il est clair qu'il n'y a pas de limite vu que pour fixé, la limite lorsque , à savoir dépend de donc la fonction n'est même pas "Gâteaux-contitue".