[Question]matrice diagonalisable

par **standatw** » 01 Juin 2009, 10:11

Bonjour à toi aussi,

J'ai rencontre une question:

Soient A matrice carré sur R de dimension n et A^3=I , est-elle diagonalisable sur R? si oui démontrer le si non trouver un contre-exemple.

merci d'avance

par **Cheche** » 01 Juin 2009, 10:44

Salut,

Un petit coup de polynôme caractéristique pour trouver les valeurs propres.

par **standatw** » 01 Juin 2009, 12:12

Cheche a écrit:Salut,

Un petit coup de polynôme caractéristique pour trouver les valeurs propres.

mais, en fait on ne peut pas expliciter ce polynôme, non?

par **sniperamine** » 01 Juin 2009, 12:39

standatw a écrit:mais, en fait on ne peut pas expliciter ce polynôme, non?

Le polynôme X^3 -1 annule la matrice A qu'est ce que tu en déduis ?

par **standatw** » 01 Juin 2009, 12:47

sniperamine a écrit:Le polynôme X^3 -1 annule la matrice A qu'est ce que tu en déduis ?

oui, donc elle n'est pas diagonalisable sur R comme on trouve seulement 1 valeur propre dans R. Est-ce qu'il est juste? Par contre, je trouve pas un contre-exemple pour ça...

par **Joker62** » 01 Juin 2009, 13:12

Les zéros d'un polynôme annulateur ne sont pas forcément les valeurs propres.

par **sniperamine** » 01 Juin 2009, 13:14

standatw a écrit:oui, donc elle n'est pas diagonalisable sur R comme on trouve seulement 1 valeur propre dans R. Est-ce qu'il est juste? Par contre, je trouve pas un contre-exemple pour ça...

Non c'est faux en général si une valeur propre b est d'ordre de multiplicité a et si dim(espace propre associé à b)=a alors la matrice est diagonalisable .
dans ce cas on a un polynôme annulateur et non pas caractéristique donc que peux tu dire sur le polynôme minimal ?

par **sniperamine** » 01 Juin 2009, 13:15

Joker62 a écrit:Les zéros d'un polynôme annulateur ne sont pas forcément les valeurs propres.

même timing lol

par **standatw** » 01 Juin 2009, 13:30

sniperamine a écrit:Non c'est faux en général si une valeur propre b est d'ordre de multiplicité a et si dim(espace propre associé à b)=a alors la matrice est diagonalisable .
dans ce cas on a un polynôme annulateur et non pas caractéristique donc que peux tu dire sur le polynôme minimal ?

"Un endomorphisme u est diagonalisable si et seulement son polynôme minimal est scindé sur K et à racines simples." mais ici il n'est pas scindé sur R, peut-on dire la matrice est non diagonalisable sur R mais diagonalisable sur C?

par **sniperamine** » 01 Juin 2009, 13:32

standatw a écrit:"Un endomorphisme u est diagonalisable si et seulement son polynôme minimal est scindé sur K et à racines simples." mais ici il n'est pas scindé sur R, peut-on dire la matrice est non diagonalisable sur R mais diagonalisable sur C?

justement tu dois raisonner comment sais tu qu'il n'est pas scindé :we: ?

par **standatw** » 01 Juin 2009, 13:42

sniperamine a écrit:justement tu dois raisonner comment sais tu qu'il n'est pas scindé :we: ?

oui, comme x^3-1=(x-1)(x^2+x+1) et x^2+x+1=0 n'a aucune racine réelle, c'est ça? Comment trouver un contre exemple par ailleurs?

par **sniperamine** » 01 Juin 2009, 13:47

standatw a écrit:oui, comme x^3-1=(x-1)(x^2+x+1) et x^2+x+1=0 n'a aucune racine réelle, c'est ça? Comment trouver un contre exemple par ailleurs?

Je crois qu'il te faut une condition A!= I non ? après le polynôme minimal divise le polynôme annulateur voilà

par **standatw** » 01 Juin 2009, 13:55

sniperamine a écrit:Je crois qu'il te faut une condition A!= I non ? après le polynôme minimal divise le polynôme annulateur voilà

OUI, c'est çà! merci bien :we:

par **sniperamine** » 01 Juin 2009, 15:40

standatw a écrit:OUI, c'est çà! merci bien :we:

Je t'en prie :we:

[Question]matrice diagonalisable

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