Equation

[zag]

Bonsoir... dsl
Bonjour à toi aussi !!


Je cherche à résoudre l'équation:

2^(n-1)=n+1 soit en posant m=n+1 et donc m-2=n-1 il vient:

2^(m-2)=m soit encore:

2^m=4m

Il va de soit que m=4 est une solution mais comment le démontrer? Passer en log ne rend pas vraiment plus limpide cette équation qui s'écrit alors:

mln2=2ln2+lnm

D'autre part si n est un réel, il existe graphiquement une autre solution que m=4 (soit n=3), puisque la fonction 2^m a deux intersections avec la fonction linéaire 4m.

En gros comment résoudre cette équation . Merci

[zag]

Oui pardon bonsoir, j'étais trop dans mon truc désolé...

En ce qui concerne mon problème, puisqu'il y a deux solutions, il y a sûrement une équation du deuxième degré la dessous, mais laquelle ?

[zag]

Re bonjour
Personne à une idée?
Mci

[Cheche]

Salut,

Je pense que cette question peut se résoudre de manière analytique (utilise les chapitres d'analyse : les études de fonction ...)

Pour tout n € |N, 2^(n-1)=n+1
<=> Pour tout m € |N*, 2^m =4 * m
<=> Pour tout m € |N*, m* ln2=ln(4*m)
<=> Pour tout m € |N*, ln2 = ln(4*m) / m

Étude de la fonction : f(x) = ln(4*x) / x

Ensuite tu calcules la dérivée, tu fais un tableau de variation. Et tu cherches les solutions de l'équation f(x) = ln 2.

[zag]

Merci, je le voyais comma ça aussi, mais à force d'enseigner dans le secondaire, on en oublie les bases, ou en tout cas on perd confiance! Bon week end.

[busard_des_roseaux]

bonjour,



pour n>1 car ce sont les trois premiers termes du développement
du binôme (sorte d' inégalité de Bernoulli )

mézalor,



si n>3

d'où l'unique solution n=3

[zag]

Merci je vais regarder ça.