DM : Etude d'une fonction

[Parizio]

Bonjour tout le monde !

Alors voilà j'ai un DM de maths pour la rentrée et j'ai un souci.
Je vais d'abord vous donner l'énnoncer. J'ai répondu aux premieres question, et j'aimerai aussi savoir si j'ai bon ou non :

f(x) = [ xLn(x) / (x+1) ] + 2 définie sur l'intervalle ] 0 ; + infini [

1) Déterminer la limite de f en 0 .
J'ai procédé par quotient puis j'ai trouvé sa limite en 0 = 1 ..?
2) Montrer pour tout nombre réel strictement positif x :
f(x) = [ ln(x) / 1+(1/x) ] + 2
Puis étudier sa limite en + infini.
J'ai réussi à démontrer c'est égal a f mais pour sa limite je ne suis pas sûr, j'ai trouvé +inf / 0+ ...? :S

3) Soit f' la dérivée de f. Montrer que f'(x) = x+1+Ln(x) / (x+1)²
C'est là que je bloque, je ne trouve pas la même chose au numérateur :S

Voilà si quelqu'un pourrait m'aider. Merci ! Bonne aprés midi !

[LeFou.]

Tu peux mettre des parenthèses svp? On a du mal a te lire.

[Parizio]

V'la j'ai rajouter quelques parenthéses.
Est-ce plus clair ?

[LeFou.]

(x Ln x ) /(x+1) +2 = x* ( Ln x)/ (x+1) +2
En 0+,
lim x -> 0+ = 0+
lim Ln x /(x+1) = 0 par propriété donc en 0+
La limite c'est 2 d'après moi.

[LeFou.]

Pour la 2 c'est tout bête; (ln x)/ ( 1+ 1/x) +2 = (ln x)/[ (x+1)(x)] +2
Même dénominateur, puis diviser reviens à multiplier par l'inverse :
et on a : (x Ln x) / (x+1) +2
Pour la limite, sa te donne :
lim x-> + inf de 1+ 1/x = 1
lim x -> + inf de ln x = + inf
donc par quotient puis somme la limite en + inf c'est + inf

[Parizio]

(x Ln x ) /(x+1) +2 = x* ( Ln x)/ (x+1) +2
En 0+,
lim x -> 0+ = 0+
lim Ln x /(x+1) = 0 par propriété donc en 0+
La limite c'est 2 d'après moi.

Bah en fait moi ce que j'ai fais, j'ai tout mis sous le même dénomianteur donc j'ai fais la limite de (x Ln x + 2x + 1), puis la limite du dénominateur qui est x+1, ma méthode n'est pas bonne ?
De plus dans le DM il me done une indication qui est que la limite de x Ln (x) = 0 en 0+ c'est pour ça que j'ai mis sous le meme dénominatur.

[LeFou.]

Bah en fait moi ce que j'ai fais, j'ai tout mis sous le même dénomianteur donc j'ai fais la limite de (x Ln x + 2x + 1 ), puis la limite du dénominateur qui est x+1, ma méthode n'est pas bonne ?
De plus dans le DM il me done une indication qui est que la limite de x Ln (x) = 0 en 0+ c'est pour ça que j'ai mis sous le meme dénominatur.

Ce n'est pas 2x+1 mais 2x+2 si tu mets au même dénominateur, ta méthode paraît être bonne mais moins claire.
Et donc avec ta méthode, la limitie en haut c'est 2 et en bas c'est 1 donc quotient 2/1 =2

[Parizio]

Ce n'est pas 2x+1 mais 2x+2 si tu mets au même dénominateur, ta méthode paraît être bonne mais moins claire.

C'est exact, erreur de "calcul" d'ma part
Donc oui je trouve bien 2 comme tu as dis et non 1. Merci !
Par contre pour la question 2 pour la limite je n'ai pas compris.
Avec f(x) qu'on me donne pour cette question, j'ai aussi décidé de mettre sous le meme dénominateur donc j'ai multiplier 2 : 2(1+1/x) ce qui me donne la fonction f : (Ln(x) + 2 + 2/x) / (1 + 1/x)
Puis j'ai fais la limite du haut et du bas mais mon résultat est faux je pense.

[LeFou.]

Pour la dérivée, tu fais la dérivée avec u'v-uv' / v²
sachant que ici u(x)= x ln x
u'(x) = ln x +1
Après tu appliques sa te donne :
[(ln x +1)(x+1) - (x ln x) ] / ( x+1)²
Tu développes et c'est finit.


Tu utilises leur expression ! Il te donne pour enlever la forme indéterminée Inf/inf !
Pour la deuxieme question, tu as ln x en haut , et lim x -> + inf de ln x= + inf
et lim x-> + inf 1+ 1/x = 1
Donc lim x -> +inf de ( ln x)/ ( 1+ 1/x) = + inf par quotient
D'où par somme la limite en + inf est + inf.

[Parizio]

Pour la dérivée, tu fais la dérivée avec u'v-uv' / v²
sachant que ici u(x)= x ln x
u'(x) = ln x +1
Après tu appliques sa te donne :
[(ln x +1)(x+1) - (x ln x) ] / ( x+1)²
Tu développes et c'est finit.

Pour la deuxieme question, tu as ln x en haut , et lim x -> + inf de ln x= + inf
et lim x-> + inf 1+ 1/x = 1
Donc lim x -> +inf de ( ln x)/ ( 1+ 1/x) = + inf par quotient
D'où par somme la limite en + inf est + inf.

Merci pour la limite j'ai compris.
Cependant pour la dérivée j'ai tout pareil sauf pour u'(x) pourquoi c'est Ln x +1 ?
Ca devrait être u'(x) = 1 * 1/x non ? Puisque la dérivée de Ln = 1/x..?

[LeFou.]

J'ai fais la même erreur tout a leur, en haut tu dois utiliser le u'v+uv' sur le x * ln x car c'est un produit !
Puis tu appliques u'v-uv' / v²

[Parizio]

J'ai fais la même erreur tout a leur, en haut tu dois utiliser le u'v+uv' sur le x * ln x car c'est un produit !
Puis tu appliques u'v-uv' / v²

Aaaah ! En fait il y a 2 formules de dérivées a appliquer dans ce calcul ???
Celle avec la fraction et l'autre avec u'v+uv' !

[LeFou.]

Oui en effet, d'abord celle de la multiplication puis celle du quotient. Etape par étape.

[Parizio]

J'suis désolé, je ne trouve pas la meme chose au numérateur en développant : [(ln x +1)(x+1) - (x ln x) ] / ( x+1)²
Quand je développe je trouve pas pareil...

Ah non Pardon, c'est bon j'ai trouvé la même chose erreur de ma part ^^.
Merci

[Parizio]

J'ai une autre question c'est que je dois étuder le signe de f'(x), sachant que le numérateur est strictement croissant sur ] 0 ; + inf [ .
Puis je dois dresser le tableau de variations de f(x) sur le même intervalle.
Je trouve que c'est aussi strictement croissant... :S

[LeFou.]

Le dénominateur étant toujours positif, Pour obtenir le signe de f' il faut résoudre ln x +x +1 > 0
<=> ln x+ ln e^x+ ln e > 0
<=> ln ( x*e^x*e) > 0
<=> x*e^x*e > 1 ( en appliquant la fonction exponentielle)
donc xe^x > e^-1