DM Suite

[ricflairwoooooooooooo]

salut a tous, je dois rendre un DM sur les Suites demain (j'ai revissé le reste de la semaine pour mon bac blanc de français) j'ai réussi la 1ere question mais je n'arrive pas la 2éme sa serait sympa de m'aider
[CENTER]enoncé[/CENTER]

On dispose de deux verres de même contenance 20 cL.
Le verre 1 est plein d'eau et le verre 2 contient 10 cL de vin

A l'aide du verre 1, on remplit le verre 2 , puis après avoir rendu le mélange homogène dans le verre 2, on remplit le verre 1 en utilisant le verre 2.
On répète plusieurs fois cette opération.

On se pose les questions suivantes:
la proportion de vin dans le verre 1 peut-elle être:
A. supérieur à celle du verre 2?
B. supérieur à 99,99% de celle du verre 2?

Afin de répondre à ces questions, on modélise la situation en notant respectivement, pour tout entier naturel n, un et vn les proportions de vin dans les verres 1 et 2, au bout de n étapes. On a donc u0 = 0 et v0 = 1

2°a) Démontrer que la suite u vérifie une relation de récurrence de la forme Un+1 = f(Un), où f est une fonction affine qu'on l'on précisera.

b) Quelle propriété de la fonction f permet de justifié que, pour tout entier naturel n, Un < 1/3 ?

c) En déduire que, pour tout entier naturel n, Un < Vn et répondre à la question A

mes réponse a la 1°

1°a) Justifier que v1= 1/2 et u1= 1/4, puis calculer u2 et v2

Aprés avoir versé la moitié du verre 1 (eau pure) dans le 2, la concentration en vin dans le verre 2 a été divisée par 2 (même quantité de vin dans un verre rempli).

donc V1=1/2

Après avoir versé la moitié du verre 2 dans le verre 1, la concentration en vin dans le verre 1 est donnée par:

U1 = 1/2 X 0 + 1/2 X V1 = 1/4 (concentrations pondérées "moitié-moitié")

De même: V2 = 1/2 X 1/2 + 1/2 X 1/4 = 3/8

et U2= 1/2 X 1/4 + 1/2 X 3/8 = 5/16

b) Expliquer pourquoi, pour tout entier naturel n:
vn+1=1/2(un+vn)

Même chose que précédemment: on pondère les concentrations à l' étape n par les coefficients 1/2 pour obtenir:

Vn+1 = 1/2(Un+Vn)

On obtiendrait aussi: Un+1 = 1/2 X Un + 1/2 X Vn+1 = 3/4 X Un + 1/4 X Vn

c) En remarquant que la quantité de vin contenue dans l'ensemble des deux verres n'est pas modifiée à chaque étape, démontrer que, pour tout entier naturel n:
vn= 1-2un

En s' occupant du volume total de vin qui vaut 10 ( en cl):

20Un+10Vn = 10

soit 2Un+Vn = 1 et Vn = 1-2Un

ENFIN j'ai terminé le topic merci de bien vouloir m'aider

[phryte]

Bonjour.
Déjà fais ici :
http://maths-forum.com/showthread.php?t=82845

[ricflairwoooooooooooo]

merci je l'avait pas vu