Convergence de série et produit de suites

[megane*]

Bonjour, j'ai un exercice qui me pose pas mal de problèmes ! J'espère que vous pourrez m'éclairer un peu.

Soit une suite telle que pour tout ,

Pour tout , on note

- On suppose que, pour tout , .
Je dois montrer que la suite admet une limite finie ssi la série converge. Et en déduire, si elle existe, la limite de quand

Je pense que je dois utiliser que =

Mais, je me perds un peu dans l'ordre de ce que je dois faire...
Comment montrer avec rigueur que si converge, alors converge ?

J'ai aussi dit que si converge, alors converge vers 0, donc est équivalent à donc est équivalent à .

Je suis perdue entre suites, séries, sommes partielles de séries...je ne sais pas bien comment dérouler le raisonnement mais je crois avoir compris l'idée générale...

Pour la seconde partie de la question, j'ai montré que converge, mais je n'arrive pas à aboutir à la limite de

Merci beaucoup.

[ThSQ]

Montre que dans les deux cas u_n -> 0 ensuite ln(1+x) ~ x en 0