Aplication définie par Matrice

[lost-_-]

Bonsoir,
J'ai besoin de votre aide.
Je ne sais pas comment trouver le noyau et l'image d'une application linéaire définie par une matrice.

"L'énoncé :

Soit A=
2 -1 -1
-1 2 -1
-1 -1 2

B=( e1, e2, e3) la base canonique de R3

Soit f l'endomorphisme dont la matrice B est A."


>>>Déterminer ker f et Im f. Prouver que ces sous espaces vectoriels sont supplémentaire dans R3.

Merci

[Lemniscate]

Salut,

Pour déterminer Ker(f) résouds le système
A.X=0 où X vecteur colonne à 3 lignes ( )

Ainsi tu obtiendras les vecteurs (dans la base B=(e1,e2,e3)) de base de Ker(f).

On écrit souvent Ker(f)=Ker(A) en fait.

Pour Im(f) tu peux regarder le rang de A (méthode du pivot de Gauss) pour savoir la dimension. En tout cas tu fais A.E1=... , A.E2=... , A.E3=...
où Ej représente ej dans la base B (par exemple )
Et tu sais que Im(f) (qu'on note Im(A)) est déterminée par l'image de f (donc de A) des vecteurs d'une base.

[jeje56]

Si u=x1e1+...+xnen, par linéarité :
f(u)=x1f(e1)+...+xnf(en) d'où l'intérêt de déterminer explicitement les f(ei) pour déterminer l'image...

[Joker62]

Pour le noyau on peut aussi chercher une combinaison des colonnes qui s'annule.
Ici C1 + C2 + C3 = 0 donc e1 + e2 + e3 = (1,1,1) est dans le noyau
On regarde le rang pour savoir s'il faut continuer à en chercher ou pas.