Suites et récurrences

par **naia** » 28 Jan 2009, 19:01

Bonjour à tous,

Voilà j'ai un gros problème avec cet exercice. Voici ce qu'on nous dit :
Uo = 2 et Un+1 = (3Un +9) / 2Un

1. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n : 2 D'habitude pour faire une récurrence je tente de faire apparaître Un+1 en ajoutant à Un. Mais là le problème c'est qu'il y a Un sur une fraction... et là je ne sais pas comment faire.

2.En déduire que pour tout entier naturel n |Un+1 -3| 3.Montrer alors par récurrence que pour tout entier naturel n : |Un -3|4.En déduire la limite de la suite U.

Merci d'avance pour votre aide !

par **Sa Majesté** » 28 Jan 2009, 21:06

Bonjour
Il suffit d'écrire Un+1 = 3/2 + 9 / (2Un)

par **naia** » 29 Jan 2009, 14:35

Merci beaucoup !

Je crois que j'ai compris, voici mon hérédité pour la question 1 sur la récurrence :
(j'ai mis < pour
2 < Un < 9
4 < 2Un < 18
9/4 < 9/(2Un) < 9/18
3/2 + 9/4 < 3/2 + 9/2Un < 9/18

15/4 < Un+1 < 1/2

Donc on a bien 2< Un+1 < 9

Maintenant sur la deuxieme question, je ne vois pas non plus comment faire :

Un+1 - 3 = 3/2 + 9/2Un -3
= -3/2 + 9/2Un
Et alors, comment savoir qu'il est plus petit que 3/4|Un-3| ?

par **Sa Majesté** » 29 Jan 2009, 19:09

naia a écrit:2 < Un < 9
4 < 2Un < 18
9/4 < 9/(2Un) < 9/18
3/2 + 9/4 < 3/2 + 9/2Un < 9/18

15/4 < Un+1 < 1/2

Donc on a bien 2< Un+1 < 9

C'est cela bien sûr ... et 15/4 < 1/2 ?? :hum:

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