Algèbre linéaire

[EliasElie]

Bonjour je viens de commencer un cour sur l'algèbre linéaire et j'avoue que je n'y comprend pas grand chose.
je doit montrer que les ensembles suivant sont des espaces vectoriels sur R
( R est un ensemble R4 crocher X est l'ensemble des polynômes de degrés 4)
E= ( (x,y,z) appartienne à R^3 : x+2y=0 et x-y+z=0)
F=( P appartenant à R4 croché x : XP'-2P=0 )
G=(f appartient à R^R ;il existe (a,b) appartenant à R^2, f(x)= a sin(x+b) )

alors j'ai dit que R^3 est un espace vectoriel de R donc il suffi de montrer que E est un sous espace vectoriel de R donc de dire que c'est un ensemble non vide donc j'ai montrer qu'il contenais 0 et il faut que je montre qu'il est stable par combinaison linéaire et je ne vois pas comment faire.

[Antho07]

Prendre deux élement A et B dans E, dans R

et montrer que est dans E

[EliasElie]

Prendre deux élement A et B dans E, dans R

et montrer que est dans E

merci je vient de le faire maintenant il faut que je donne leur dimension et une base sauf que je ne sait pas ce que je doit faire pour trouver cela .

[leon1789]

merci je vient de le faire maintenant il faut que je donne leur dimension et une base sauf que je ne sait pas ce que je doit faire pour trouver cela .

Pour E, résouds le système {x+2y=0 , x-y+z=0}
et une base tu obtiendras

[EliasElie]

Pour E, résouds le système {x+2y=0 , x-y+z=0}
et une base tu obtiendras

oui alors je résous
x=-2y
x=y-z
z=3y
y=z/3
donc je me retrouve avec une base comme ceci?
-2
1/3
3

j'ai pas très bien compris ? doit-je diviser par la norme de la somme de ses composante pour me retrouver avec un vecteur unitaire?

[leon1789]

oui alors je résous
x=-2y
x=y-z
z=3y
y=z/3

En clair, tu arrives à (x,y,z) = ( ?, ?, ? )

j'ai pas très bien compris ? doit-je diviser par la norme de la somme de ses composante pour me retrouver avec un vecteur unitaire?

non, inutile de diviser pour rendre unitaire.

[xyz1975]

Pour montrer que
est un sous espace vectoriel de Il suffit de prendre deux éléments et dans E et un réel puis montrer que la somme :
est dans E.
Il est clair que :
signifie que (H1)
signifie que (H2)

=
Cet élément est dans E si et seulement si
et

Or c'est bien le cas puisque :
vue l'hypothèse (H1)
de même :
vue l'hypothèse (H2)

Pour la dimension on trouve une partie génératrice puis on montre qu'elle est libre ce qui fournit une base.
D'une manière générale si les équations définissant l'ensemble E sont libres deux à deux la dimension est égale à la dimension de R^n moins le nombre d'équations, dans notre cas la dimension est 3-2=1 ( c'est bien une intersection de deux plans ce qui donne une droite).
Prouvons le :




On peux écrire alors :


Ceci prouve que le partie {(-2,1,3)} est génératrice de E reste à voir sa liberté, comme la partie génératrice est réduite à un singleton non nul alors elle est libre donc c'est une base par suite dimE=1.
D'une manière générale d'exprimer une ou deux variables figurants dans les équations en fonction du reste.