équation cartésienne

[eline-77]

Salut ! J'ai un DM a faire pour la rentrée et je bloque a une question ! Voici l'énnoncé:

Dans un repère orthonormal, on considère les points A(1;1;-1) B(0;5;-3) et C(-5;0;2)

a) Pourquoi ces trois points définissent-ils un plan ? sa j'ai trouvé, il fallait juste calculer les vecteurs AB et AC et montrer qu'ils n'étaient pas colinéaires car leurs coordonnées n'étaient pas proportionnelles (donc ils ne definissent pas un plan)

b) Déterminer une équation cartésienne du plan (ABC) de la forme x+uy+vz+w=0 où u,v et w sont des réels

C'est la que je bloque ! si quelqu'un peu m'aider ^^

[XENSECP]

A, B et C appartiennent à ce plan donc leurs coordonnées vérifient l'équation

En clair c'est un système de 3 équations à 3 inconnues ;)

[eline-77]

d'accord mais comment je la forme cette équation ?

[mAroCaInEE]

Alors comme a dit XENSECP c'est assez simple c'est seulement il faut remplacer par les coordonnées des points A B et C dans cette equation et trouver trois equations :
A(1;1;-1) dans x+uy+vz+w=0 => E1
B(0;5;-3) dans x+uy+vz+w=0 => E2
C(-5;0;2) dans x+uy+vz+w=0 => E3
alors après tu vas cherchee u v w
autre prob??

[eline-77]

ha ok !! oui en effet c'est pas très dur ! mais heu... c'est x,y et z que je dois remplacer par les coordonnées des points où u,v,w ?

[mAroCaInEE]

Bon c'est sur que c'est x y et z :we:

[eline-77]

ok donc je me retrouve avec sa:

1+u-v+w=0
5u-3v+w=0
-5+2v+w=0

Je prends quelle méthode ensuite (sachant que je n'est pas apris le pivot de gauss)

[mAroCaInEE]

Bon c'est simple comme système ok alors surtt si tu débute par la dernière équation tu as 2v+w=5 alors tu vas essayer de trouver tt les autres termes en fonction d'un seul terme... si tu trouve un prob dit le:)

[eline-77]

u-v+w=-1
5u+w=3v ?
2v+w=5

et je commence par quoi après ?

[mAroCaInEE]

Bon je crois que tu vas compliquer les choses si tu vas travailler avec les equations par cette méthode..
Bon tu vas poser tes equations tu as trouvé déjà:
E1: u-v+w=-1
E2: 5u-3v+w=0
E3: 2v+w=5
Après tu vas essayer d'liminer un des terme soit u v ou w pour avoir deux equations qui contient seuement deux termes; alors tu as E3: 2v+w=5 déjà alors essaye d'éliminer U entre E1: u-v+w=-1 et E2: 5u-3v+w=0 pour trouver une équation qui ne contien que v et w ok??
alors j'attend ce que tu vas faire..

[eline-77]

heu on ajoute -5 a E1 ?!! Mais si on élimine tous les U comment on va trouver sont resultat ?

[mAroCaInEE]

bon tu peux pas ajouter mais multiplier alors il faut multiplier E1 par (-5) puis ajouter (-5)*E1+E2 = ça va te donner kélk chose en fonction de v et w. puis tu vas ecrire v en fonction de w (et tu peux aussi ecrire w en fonction de v) l'important c'est de trouver une en fonction de l'autre donc tu vas à la fin remplacer ce que tu trouve dans E3: 2v+w=5 ( si tu as exprimer v en fonction de w alors en E3 tu va remplacer v par ce que tu trouve avant si tu exprime w en fonction de v il faut ds E3 remplacer w par ce que tu trouve).
Pour ta question même si tu élimine u entre les deux équations alors tu vas garder l'equation initiale car biensur tu va avoir besoin pour trouver la valeur de u.
Pose des question si tu n'arrive pas à voir kélk chose ok :happy2:

[eline-77]

je trouve u=6.5
v=12.5
w=5
Mais pas sur !!

[mAroCaInEE]

Bon il me parait que c'est faux et voilà on va pour etre sur la travailler tout les deux :
alors tu as -5*E1= -5u+5v-5w=5
si on ajoute -5*E1+E2 on va trouver quoi ??

[eline-77]

sa donne 2v-4w=5

[mAroCaInEE]

Désolée pour le retard mais moi aussi je suis entrain de préparer mes examen finaux :we:
alors oui tu as raison tu vas trouver 2v-4w=5 avec
E3: 2v+w=5
alors tu pense pas que c'est facile mnt de trouver v et w??
j'attend tes réponses

[eline-77]

ok mais après je fais quoi ? dsl jsuis vraiment pas douée =S je redivise?

[mAroCaInEE]

Bon à l'aide de ces deux equations tu vas trouver w et v (j'attend que tu me passe les valeurs que tu as trouvé) puis alors tu vas revenir à une des deux équation E1 et E2 et tu va remplacer w et v par les valeurs que tu as trouvé et alors il va te rester seulement trouver conclure u au final.

[eline-77]

ba moi je trouve:

2v-4w=5
5u-3v+w=0
2v+w=5

2v=5+4w
5u-3v+w=0
(5+4w)+w=5 <= je remplace 2v par ce que j'ai trouvé a la première ligne) donc w=5

ensuite si w=5

2v=5+4*5 =>2v=25 donc v=12.5 je vois pas où sa fonctionne pas

[mAroCaInEE]

C'est pas comme ça désolée mais bon voilà
tu as:
2v-4w=5 et 2v+w=5 alors on va éliminer v entre c'est deux equations alors c'est simple:

(2v-4w=5)-(2v+w=5)=(2v-2v)+(-4w-w)=(5-5)
cela donne alors -5w=0 alors c'est w=0 alors tu vois mnt ta faute ami??