Refroidissement d'un système

[boboss]

Bonjour tout le monde et bonne vacances ! Pouvez-vous m'aider sur cet exercice svp ? merci
(l'intro est un peu longue)

Une machine est refroidie par un circuit de 20L d'eau. Dès que la température de l'eau atteint 80°C le système se met en marche et le circuit est rafraîchi en continu et en de multiples points, avec un débit de 2 litres par seconde par un courant d'eau à 16°C. Il rentre autant d'eau qu'il en sort, de sorte que le volume d'eau est contant égal à 20L. La température est en tout point identique (hypothèse d'homogénéité du milieu).
Par ailleurs on rapelle que si l'on mélange v1 litres d'eau à la température T1 et v2 litres d'eau à la température T2 alors on obtient v1+v2 litres d'eau à la température v1T1+v2T2 / v1+v2 (barycentre pondéré des volumes). On considère que, pendant le refroidissement, l'apport de chaleur dû à la machine est négligeable. Le refroidissement s'arrête lorsque la température du circuit est revenue à 40°C.
On cherche à trouver le temps pour atteindre cette température de 40°C. Pour cela on va étudier deux modèles possibles, selon que l'on considère le temps comme successions discrètes d'instants ou au contraire comme un continuum. On dressera des analogies entre ces deux modèles.
Modèle continu : équation différentielle
Le temps est considéré comme une variable continue décrivant R+. On appelle T(t) la température à l’instant t. Soit ;)t un accroissement de temps (censé être très petit). On suppose la fonction T dérivable sur R+.

1) Que vaut T(0) ?

2) Exprimer T(t+ ;)t) en fonction de T(t). On notera que le débit étant de 2L par seconde, le volume d’eau rentrée pendant ;)t seconde est de 2 ;)t litres.

3) Simplifier le taux d’accroissement T(t+ ;)t)-T(t) / ;)t et faire tendre ;)t vers 0. Montrer alors que T vérifie une équation différentielle de la forme y’ = ay + b
Où a et b sont des constantes à déterminer.

4) Montrer qu’il existe une seul fonction constante vérifiant cette équation différentielle.

5) Posons f = T – k où k est la valeur de la fonction constante trouvée à la question précédente. Montrer que f vérifie une équation différentielle linéaire homogène.

6) En déduire l’expression de T(t) et répondre à la question posée.

[anima]

Et... Tu ne vas quand même pas faire croire a tout le forum que tu ne sais pas ce que vaut T(0) sachant que le systeme démarre a 80 degrés. Si?

Montre-nous plutot ce que tu as fait, et on t'aidera sur le reste.

[boboss]

Si t(0) vaut 80°C !!
mais il n'y a que ça que j'ai fais pour l'instant !

[anima]

Alors. Pour chaque , tu rajoutes l'équivalent refroidissant de litres a 16 degrés. Tu as une formule pour trouver le changement de température.

Donc, tu peux tres facilement calculer en fonction de T(t), non?

[boboss]

T(t+;)t) = ( 18*T(t)+2;)t*16 ) / 20
?

[muse]

T(t+;)t) = ( 18*T(t)+2;)t*16 ) / 20
?

Presque. C'est pas 18.

[boboss]

c'est 20 ?

[boboss]

je trouve ça:

2) T(t+;)t)= ((20-2;)t)*T(t)+2;)t*16) / 20
= (20T(t)-2;)t*T(t)+32;)t) / 20
= T(t) - 1/10;)t*T(t) + 8/5;)t)