Exercice sur les suites ...

[benjamin123]

bonjour a tous

je bloque a une question dans cet exercice , merci de votre aide d'avance

voici l' énoncé

un carré de côté 1. il partage le carré en quatre carrés isométriques . il colorie le carré situé en bas à gauche. il recommence ce système avec le carré qui se situe en haut à droite du premier carré colorié, et ainsi de suite.

On appelle u indice n l'aire de la surface totale colorée au bout de la n-ième étape.

image de la figure

dans les premières questions on demandent de
Calculer u1, u2 et u3 ( ici c'est simple )

mais je bloque a cette question :

Vérifier géométriquement que la suite (u indice n) est bornée et croissante.

Un+1 = 1/4 Un

[fatal_error]

salut,

essaie de trouver le terme général de la suite (u_n). Après, ca devrait aller.
PS: la suite est décroissante

[benjamin123]

normalement la suite est croissante car il faut additionner l aire des carrés précédents en rouge sur le schéma pour n fois ... u1= 0.25 u2 = 0.3125 u3 = 0.578125 ... mais je n arrive pas a trouver la suite Un qui n est pas Un+1= Un*1/4 car on doit accumuler les aires précédentes ...

:hein:

[Florélianne]

Bonjour
Tu as U1 = 1/4 ; U2 = 1/4+1/16 ; U3= 1/4+1/16+1/64
Un= somme de 1 à n de 1/4^i
U(n+1) = Un + 1/4^(n+1)
ai-je bien compris ?
Un+1 -Un= 1/4^(n+1) > 0 donc la suite Un est croissante
majorée : géométriquement c'est tout vu : on ne sort pas du carré d'origine donc Un < 1

par récurrence
u1= 1/4 < 1/2
hérédité : si U(n-1) <1/2
Un= 1/4[1+1/4+1/16+..+1/4^(n-1)]
Un= 1/4[U(n-1) +1] = 1/4 U(n-1) +1/4
donc
Un <(1/4)(1/2)+1/4=1/4(1+1/2)=1/4(3/2)=3/8 < 1/2
vrai donc Un est majorée

donc Un admet une limite l < 1/2

[Black Jack]

bonjour a tous

je bloque a une question dans cet exercice , merci de votre aide d'avance

voici l' énoncé

un carré de côté 1. il partage le carré en quatre carrés isométriques . il colorie le carré situé en bas à gauche. il recommence ce système avec le carré qui se situe en haut à droite du premier carré colorié, et ainsi de suite.

On appelle u indice n l'aire de la surface totale colorée au bout de la n-ième étape.

image de la figure

dans les premières questions on demandent de
Calculer u1, u2 et u3 ( ici c'est simple )

mais je bloque a cette question :

Vérifier géométriquement que la suite (u indice n) est bornée et croissante.

Un+1 = 1/4 Un

On demande une réflexion géométrique et pas calculatoire.

Pose toi les questions suivantes:

- Est-il possible que la surface colorée soit plus grande que celle du carré initial ?
La réponse à cela te dira si la suite est majorée.

- Est-il possible que la surface colorée soit négative ?
La réponse à cela te dira si la suite est minorée.

Les 2 réponses précédentes doivent te permettre de conclure si la suite est bornée.
@@@@@
Pour passer d'un terme de la suite au suivant, on colorie une aire supplémentaire. Ceci doit te permettre de conclure si la suite est ou non croissante.
@@@@@
De tout ce qui précède tu dois pouvoir conclure si la suite est convergente.

:zen:

[benjamin123]

merci de votre aide