on note C la courbe représentative de la fonction f (définie et dérivable sur R), son asymptote D et sa tangente T au point d'abscisse 0. on sait que le point J(0;1)est centre de sumétrie de la courbe C, que l'asymtote D passe par les points k(-1;0)et J, que la tangente T a pour équation y=(1-e)x+1
partie A
1. déterminer une équation de D.
2.on suppose qu'il existe deux réel m et p et une fonction g définie sur R telle que pour tout réel x, f(x)=mx+p+g(x) avec lim(x tend vers +inf)g(x)=0
a)déterminer m et p : f(x)-(mx+p)=g(x), mx+p est asymptote oblique a C en +inf donc mx+p=x+1
b)démontrer que f(x)+f(-x)=2
c) en déduire que la fonction g est impaire puis que la fonction f' est pair
3. on suppose maintenant que pour tout réel x: g(x)=(ax+b)e^-x² ou a et b sont des réel. démonter, en utilisant les données et les résultats précedents que a=-e et b=0
partie B
f est définie sur IR par: f(x)=1+x-xe^(1-x²)
1.a)vérifier que f'(x)=1+(2x²-1)e^(-x²+1)et calculée f'(0)
b)vérifier que T est bien la tangente à la courbe C au point d'abcisse O. étudier la position relative de la courbe C et de sa tangente
2.le graphique suggére l'existence d'un minimum relatif de f sur (0;1)
a) démontrer que f''(x) est du signe de 6x-4x^3
b)démonter que l'équation f'(x)=0 admet une solution alfa sur (0;1)
c) démonter que 0,51
partie A:
1)D:y=x+1
2)a)
b)on sait que le point J EST CENTRE DE SYMETRIE pour Cf , donc:
f( 2.0 - x)= 2.1 - f(x) ( en general : f(2a-x-)=2b-f(x) signifie que le point H(a,b) est centre de symetrie pour Cf)
donc : f(-x)= 2- f(x) ssi f(-x)+f(x)= 2
c)en déduire que la fonction g est impaire:f(x)+f(-x)=x+1+g(x)+(-x)+1+g(-x)=2+g(x)+g(-x) ; or f(-x)+f(x)= 2
donc: 2+g(x)+g(-x) =2 ssi g(-x)= - g(x)
montrons que f' est paire :
f(x)= x+1 +g(x) , donc: f'(x)= (x+1)'+ g'(x) = g'(x)
montrons que g' est paire :
g(-x)= - g(x) , donc : en derivant les deux membres :
- g'(-x) = - g'(x) et donc : g'(-x) = g'(x) , donc f'est paire
3)on suppose maintenant que poue tout réel x: g(x)=(ax+b)e^-x² ou a et b sont des réel. démontrons , en utilisant les données et les résultats précedents que a=-e et b=0
on sait que g est impaire :
donc : g(-x)=g(x) ssi (-ax+b) e^-x² = -(ax+b) e^-x²
ssi -ax +b= -ax-b (on a simplifie par e^-x² reel> 0)
ssi 2b=0
ssi b=0
donc : g(x)= ax e^-x²
or la tangente T a Cf au point d absciss 0 a pour equation :y=(1-e)x+1
or l'equation de la tangente au point d'abscisse 0 est:
y=f'(0)x +f(0)
donc : f'(0)= 1-e
or f'(x)= g'(x) = a( e^-x² +x (-2xe^-x² )) (jai derive g(x))
=ae^-x² ( 1- 2x²)
donc: f'(0)= a =1-e
donc : g(x)= (1-e)x e^-x²
partie B:
1)a)donc : f'(x)= 1+ ae^-x²( 1-2x²) et on remplace a par -e , donc:
f'(x)= 1- ee^-x²( 1-2x²) or e e^-x² = e^1 e^-x² = e^(1-x²)
= 1- e^(-x²+1) ( 1-2x²)
= 1- (1-2x²) e ^( -x²+1)
= 1+ (2x²-1) e ^( -x²+1)
f'(0)= 1+a
b)étudier la position relative de la courbe C et de sa tangente :
f(x)-y = x+1 -x e^(-x²+1) - (1-e)x-1
= x( 1 - (1-e)) - x e^(-x²+1)
= x( e - e^(-x²+1))
etudions le signe de : e - e^(-x²+1)
e - e^(-x²+1) =0 ssi e= e^(-x²+1)
ssi 1= -x²+1
ssi 0=-x²
ssi x=0
e - e^(-x²+1) >0 ssi e> e^(-x²+1)
ssi 1> -x²+1
ssi 0>-x²
ssi -x²<0 ce qui est vrai pour tout x reel non nul
donc le signe de f(x)-y est celui de x car ( e - e^(-x²+1))est positif ou nul , donc :
si x>0 , Cf est au dessus de T
si x<0 ,Cf est en dessous de T
si x=0 , Cf et T se coupent
2)a)étudions le signe de 6x-4x^3
6x-4x^3 = 2x (3-2x²)
=2x (racine(3) -xracine(2)) (racine(3)+xracine(2))
6x-4x^3 =0 ssi x=0 ou x= racine(3/2) ou x= - racine (3/2)
x - ;) - racine (3/2) 0 racine (3/2) + ;)
(3-2x²) - 0 + + 0 -
x - - 0 + +
f''(x) + 0 - 0 + 0 -
f'(x) croissante décroissante croissante décroissante
l'intervalle 0 ,1 est inclus dans 0 , racine (3/2)
or sur 0 , racine (3/2) , f' est croissante et continue
or f'0)= 1-e <0 et f'(1)=1 >0
donc d'aprés le théoréme des valeurs intermédiaires , il existe ;) unique /
f'(;) )=0
c) démonter que 0,51
d)exprimer f(alfa)sous la forme d'un quotient de deux polynomes en alfa
ona f'(;) )=0 ssi 1+ (2;)²-1) e ^( -;)²+1) =0
ssi (2;)²-1) e ^( -;)²+1) =- 1
ssi e ^( -;)²+1) = -1 / (2;)²-1)
or f(;))= ;) +1 - ;) e ^( -;)²+1)
= ;) +1 - ;) ( -1 / (2;)²-1))
= ;) +1 + ;) /(2;)²-1)
= 2 ;)^3 -;) +2 ;)²-1 + ;) / (2;)²-1)
= 2 ;)^3 + 2 ;)² -1 / (2;)²-1)
Voila merci de bien vouloir me corriger
unique /