Bonjour j'ai un problème à résoudre qui me dépasse pouvez-vous me donner les axes de recherche : Voici l'énoncé
" Trois propriétaires P1,p2,p3 possèdent chacun une parcelle de terrain carré, jouxtant un lac triangulaire ABC rectangle en A.
Ils décident de délimiter leurs eaux territoriales en plaçant une bouée M de telle sorte que les surfaces MAB,MBC,MCA soient proportionnelles aux aires des parcelles adjacentes.
Déterminez la position de la bouée du lac "
Je suis en première S . Je pense qu'il s'agit d'une histoire de centre d'inertie des barycentres mais je n'arrive pas à exploiter le problème .
Il s'agit après quelques recherches des olympiades de Lyon Maths session 2003 : http://maths-en-ts.net/premiere_S/olympiades/olympiades_2003.pdf
Barycentres
6 messages
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par Sve@r » 28 Nov 2008, 22:03
charlu44 a écrit:Bonjour j'ai un problème à résoudre qui me dépasse pouvez-vous me donner les axes de recherche : Voici l'énoncé
" Trois propriétaires P1,p2,p3 possèdent chacun une parcelle de terrain carré, jouxtant un lac triangulaire ABC rectangle en A.
Ils décident de délimiter leurs eaux territoriales en plaçant une bouée M de telle sorte que les surfaces MAB,MBC,MCA soient proportionnelles aux aires des parcelles adjacentes.
Déterminez la position de la bouée du lac "
Je suis en première S . Je pense qu'il s'agit d'une histoire de centre d'inertie des barycentres mais je n'arrive pas à exploiter le problème .
Il s'agit après quelques recherches des olympiades de Lyon Maths session 2003 : http://maths-en-ts.net/premiere_S/olympiades/olympiades_2003.pdf
Ben quand-même, un problème posé aux olympiades, c'est pas rien.
Bon, je donne une soluce telle que je la sens, sans avoir vérifié si ça mêne quelque part.
1) calculer le total des 3 surfaces et associer à chaque surface un pourcentage correspondant à la surface en question par rapport au total
2) calculer le barycentre M du triangle pondéré par le pourcentage
par Luc » 28 Nov 2008, 22:29
Bonsoir,
J'ai une solution mais elle n'est vraiment pas élégante et pas dans l'esprit des Olympiades (on calcule "bêtement" en prenant un repère d'origine A).
Mais le résultat est joli, et je pense qu'un résultat peut se démontrer directement: La position de la bouée se situe sur la hauteur issue de A.
Les coordonnées de la bouée dans ce repère sont)
avec les notations AB=c;AC=b;BC=a.
Si vous voulez je peux écrire les calculs mais c'est pas beau
Luc
EDIT: Sve@r, bien vu! Le point dont tu parles est le barycentre G de(B,b^2)(C,c^2)\})
. Il suffit alors d'écrire la définition du vecteur 
et on tombe sur le même résultat que j'ai trouvé en passant par un repère.
J'ai une solution mais elle n'est vraiment pas élégante et pas dans l'esprit des Olympiades (on calcule "bêtement" en prenant un repère d'origine A).
Mais le résultat est joli, et je pense qu'un résultat peut se démontrer directement: La position de la bouée se situe sur la hauteur issue de A.
Les coordonnées de la bouée dans ce repère sont
Si vous voulez je peux écrire les calculs mais c'est pas beau
Luc
EDIT: Sve@r, bien vu! Le point dont tu parles est le barycentre G de
par benekire2 » 08 Jan 2010, 16:27
je me permet de déterrer le topic ...
le point dont vous parlez barycentre de (A,a²) ; (B,b²) et (C,c²) est le point de lemoine.
Quand j'avais traité l'exercice j'avais d'abord utilisé la définition vectorielle qui en théorie suffit.
Mais j'étais persuadé qu'une solution élégante existait.
J'ai fais des calculs et je me suis rendu compte d'une chose: ici le barycentre se situe au milieu de la hauteur issue de A ( triangle rectangle en A)
J'ai trouvé une autre solution ( une fois qu'on connait le résultat... ) parce que vous avez tout deux omis quelque chose d'important ... le triangle est rectangle !!!!
Pour ceux que ça intéresse :
( On a déjà conjecturer que c'était le milieu de la hauteur issue de A ca aide pour la figure, ce qui fait que la démo est presque naturelle )
M est la bouée A' le projeté orthogonal de M sur BC B' le projeté orthogonal de M sur AC C' le projeté orthogonal de M sur AB
L'exercice se résume a trouver un point M vérifiant :
c'est à dire :
AB'MC' est un rectangle donc MC'=B'A et
se réécrit 
Les triangles ABC et MAB' sont semblables.
On a
en combinant la première égalité avec celle ci il vient que
Donc M est le milieu de MM', donc on a démontré ce que l'on voulais.
Dites mi si j'ai dit une aération ou si c'est pas bon ...
le point dont vous parlez barycentre de (A,a²) ; (B,b²) et (C,c²) est le point de lemoine.
Quand j'avais traité l'exercice j'avais d'abord utilisé la définition vectorielle qui en théorie suffit.
Mais j'étais persuadé qu'une solution élégante existait.
J'ai fais des calculs et je me suis rendu compte d'une chose: ici le barycentre se situe au milieu de la hauteur issue de A ( triangle rectangle en A)
J'ai trouvé une autre solution ( une fois qu'on connait le résultat... ) parce que vous avez tout deux omis quelque chose d'important ... le triangle est rectangle !!!!
Pour ceux que ça intéresse :
( On a déjà conjecturer que c'était le milieu de la hauteur issue de A ca aide pour la figure, ce qui fait que la démo est presque naturelle )
M est la bouée A' le projeté orthogonal de M sur BC B' le projeté orthogonal de M sur AC C' le projeté orthogonal de M sur AB
L'exercice se résume a trouver un point M vérifiant :
c'est à dire :
AB'MC' est un rectangle donc MC'=B'A et
Les triangles ABC et MAB' sont semblables.
On a
en combinant la première égalité avec celle ci il vient que
Donc M est le milieu de MM', donc on a démontré ce que l'on voulais.
Dites mi si j'ai dit une aération ou si c'est pas bon ...
par benekire2 » 08 Jan 2010, 18:29
j'ai oublié de préciser dans ma démo que M appartient à la hauteur issue de A ... on doit pouvoir le montrer avec les semblables ,
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