Nilpotence

[ltifi]

salut
est ce que je pe savoir comment déterminer l indice de nilpotence d une matrice carrée d ordre n ou il ya des 0 sur la diagonale et au dessous mais au dessus il ya des 1 partout
et est ce qu on peut déduire la réduction de jordan de cette matrice âpres avoir trouver l indice de nilpotence
merci

[Antho07]

Essaye d'abord de voir combien vaut A², A^3 etc...

[leon1789]

prend des exemples avec n=2, n=3, n=4... et tu comprendras vite

[ltifi]

oui je comprend ca tu trouve que l indice de nilpotence est n
mais comment montrer ca est ce que par récurrence
et comment utilise ca pour déduire la forme de jordan

[leon1789]

pour une matrice A fixée, tu peux (par exemple) montrer par récurrence que Im(A^k) = K e_1 + ... +K e_(n-k)
où les e_i sont les éléments de la base canonique

[ltifi]

oui mais comment utiliser ca pour en déduire la forme de jordan

[Maxmau]

Bj

Soit u ton endomorphisme de matrice A. u^(n-1) non nul.
Il existe donc un vecteur x tel que u^(n-1)(x) non nul
Montre que (u^(n-1)(x) , u^(n-2)(x) , …………, u(x) , x ) est une base
Quelle est la matrice de u dans cette base ?

[fourize]

Bj

Soit u ton endomorphisme de matrice A. u^(n-1) non nul.
Il existe donc un vecteur x tel que u^(n-1)(x) non nul
Montre que (u^(n-1)(x) , u^(n-2)(x) , …………, u(x) , x ) est une base
Quelle est la matrice de u dans cette base ?

bonjour ca :++: c'est un nouveau sujet ou quoi?

ceci dit, le nombre de nilpotence est le nombre de diagonale de 1;
sachant que le 1 du coin en haut à droite est une diagonale.
ceci se demontre par recurence.
_d'abord 01 verifie bien.
00
_ on suppose que la relation est vrai pour n
_et on demontre a n+1.

[Maxmau]

bonjour ca :++: c'est un nouveau sujet ou quoi?

Bj

C'est la façon la plus simple de jordaniser une matrice nxn nilpotente d'indice de nilpotence maximum ( égale à n)