[1S] Vecteur de l'espace

[yondaime]

Bonjour,
En relisant mon cours, je n'arrive pas à comprendre une propriété de l'espace :
"

Trois vecteurs U, V et W tels que U et V ne soient pas colinéaires sont coplanaires si et seulement si il existe deux réels a et b tels que :
W = aU + bV

[U, V et W sont des vecteurs bien sûr)]

Ce que je ne comprends pas c'est pourquoi U et V ne doivent pas être colinéaires ... ?

Surtout que la propriété d'après dit que si deux trois vecteurs U, V et W sont colinéaires, alors U, V et W sont coplaires.

Merci d'avance :++:

[crassus]

si U et V sont colinéaires alors U V et W sont obligatoirement coplanaires et W=aU+bV devient W=(a+bk)U (V=kU) Ce qui signifie que W ,U ,V sont colinéaires ... L'équivalence n'a plus de sens

[crassus]

je dirai d'ailleurs plutot qu'elle est fausse ...

[aeon]

C'est à cause du "si et seulement si". Il doit y avoir équivalence !

Si U et V sont colinéaire, on peut très bien avoir U, V, W coplanaires alors qu'il n'existe pas a et b tels que W = aU + bV

Prenons par exemple un plan avec un repère orthonormé (O, i, j).
Je pose U = i, V = 2i (ils sont colinéaires)
W = j
U, V et W sont coplanaires, pourtant il n'existe pas de réels a et b tels que W = aU + bV.

Le "seulement si" ne serait pas correct dans ce cas là. La conditions "U et V ne soient pas colinéaires" est donc nécessaire pour avoir l'équivalence.

[Florélianne]

Bonjour,
Explication magistrale.
Tout est dit.
Cordialement.