Démo rang d’une sous matrice

[NICO 97]

Bonjour,
Soit I et J deux sous ensemble de N et la matrice A de coefficient aij pour i dans I et j dans J
Soit I’ inclus dans I et J’ inclus dans J
Soit P une sous matrice de A de coefficient aij pour i dans I’ et j dans J’ , inversible.
Soit Q une sous matrice de A et une sur matrice de P, de coefficient aij pour i dans I’ et j dans J
Je souhaiterai démontrer que Rang(P)=Rang(Q)
Si quelqu’un pouvait m’aider pour cela, je l’en remercie par avance.

[Doraki]

Bonjour,

déjà, arrête de tirer au dé pour savoir si tu dois écrire "le/la/les" ou "un/une/des".
C'est important de savoir quand est-ce que ce dont tu parles est entièrement défini par ce que tu as déjà introduit et quand est-ce que ça ne l'est peut-être pas.

Normalement, ça c'est plus compréhensible (je rajoute des article exprès) :

Soit I et J DES sous ensembles de N et A UNE matrice de coefficients aij pour i dans I et j dans J.
Soit I’ UN sous-ensemble de I.
Soit J’ UN sous-ensemble de J.
Soit P LA sous matrice de A de coefficient aij pour i dans I’ et j dans J’ , inversible.
Soit Q LA sous matrice de A et sur matrice de P, de coefficient aij pour i dans I’ et j dans J
Je souhaiteraiS démontrer que Rang(P)=Rang(Q)

Ensuite tu vois que ton énoncé a un problème quand il dit que P est inversible vu que tu n'as pas le choix de P.

Donc en supposant P inversible (et pour que ce soit possible, I' et J' doivent avoir le même cardinal, qui devrait être fini, et que j'appellerai n), il faut donc montrer que le rang de Q est le rang de P ( = n).

Q a donc n vecteurs et tu dois montrer qu'elle est de rang n.
Pour cela il suffit de montrer que les n vecteurs de Q forment une famille libre, sachant que les n sous-vecteurs qui constituent la matrice P, eux, sont une famille libre vu que P est inversible.

[NICO 97]

C'est important de savoir quand est-ce que ce dont tu parles est entièrement défini par ce que tu as déjà introduit et quand est-ce que ça ne l'est peut-être pas.

OK, c'est clair, et merci du conseil. :id: