Probleme integrale

[kanaille]

bonjour de l'aide silvouplait je coince du debut a la fin merci d avance

soit f(x) = integrale de x a 2x de sint/t^2dt si x different de 0 et f(0) = ln(2)

1- on considere g definie par g(t) = [sint-t]/t^2 si t different de 0 et g(0) = 0
a- verifier que lim en 0 de l intergrale de x a 2x de g(t)dt=0
b- en deduire que f est continue en 0
2 montrer que f est paire
3 montrer que f est derivable
b- calculer f'(x) pour tous reelle non nul
c en deduire que f est derivable en 0 donner f'(0)
merci d avance

[mathelot]

bonsoir,

C'est un devoir de quel niveau ?

[kanaille]

c'est un exo tiré des annales de concours HEC

[COTLOD]

Pour la première question on peut utiliser l'encadrement :

[kanaille]

oui d accord je bloque a partie de la question c

[COTLOD]

Pour la dernière question il existe un théorème classique qui dit :
Si une fonction f continue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[ telle que la dérivée f' admet une limite l en a, alors f est dérivable à droite en a et f'(a)=l.
On peut le trouver dans un cours comme le tome 2 des Arnaudiès-Fraysse

[kanaille]

et pour montrer que f est paire comment si prend t-on ???

[COTLOD]

On utilise le changement de variable u=-t dans l'intégrale qui défini f et on remarque que la fonction g est impaire. Attention au sens des bornes d'intégration.

[kanaille]

on me demande ensuite d etudier le signe de f'(x) sur R+* et de montrer que la valeur absolue de f(x) est inferieur a 1/2x j'ai remarquer que 1/2x etait l equivalent de f'(x) mais je n'arrive pas a articuler le raisonnement

[COTLOD]

Si tu sais démontrer que
alors on utilise on factorise le numérateur et un tableau de signe permet de finir.
Ensuite c'est bien qu'il faut démontrer?

[kanaille]

oui tout a fait mais je trouve f'(x) = (sinx/x^2).(cos(x)-1) et j'ai montrer que f etait de classe C1 car lim en O de f'(x) = 0 et j ai trouver f'(0)=0
vous en pensez quoi ???

[COTLOD]

C'est ce que j'ai trouvé.

[kanaille]

d 'accord mais pour l inegalité je n'arrive pas a faire le lien je sais que 1/2x~f'(x) mais je n arrive pas a l utiliser

[COTLOD]

Peux-tu me donner très exactement la question.

[kanaille]

montrer que la valeur absolue de f(x) est inferieur a 1/2x

[COTLOD]

OK j'ai compris. On utilise :

Puis tu majore par , tu intègre et voilà.

[kanaille]

une derniere question que trouver vous comme signe de f '(x) sur ]0;+00[et comment le redigez vous .??

[COTLOD]

On a pour tout :

donc le signe de est le signe du numérateur qui est -périodique.
On dresse un tableau de signe pour x allant de 0 à avec chaque facteur sur une ligne et le produit en dernière ligne. On présente enfin le signe de :
est négative sur les intervalles pour k entier naturel, et positive sur pour k entier naturel.
J'espère ne pas me tromper, il est tard (pour moi) et j'ai repris mon brouillon d'avant hier.