Deux courbes qui se frolent!

[yann78]

Coucou à tous, je viens de découvrir le forum et j'espère que vous saurez m'aider! cela fait plusieurs jours que je travaille sur un DM de math (je suis en terminal S) et je ne trouve pas une dernière question, même en demandant des éclaircissement à ma prof!

alors voila mon problème:
soit r un nombre réel strictement positif, on considère la parabole P d'équation y=x²-3 et le cercle C de centre O et de rayon r (le tout dans un repère orthonormé o,i,j). On suppose que r est compri entre 0 et 3 exclus!

1)dans une première question il fallait que j'écrive un système (S) d'équation vérifiée par les coordonnés x et y des points commun à la parabole P et au cercle C lorsqu'ils existent.

Il suffit alors d'écrire le système composé de l'équation de P (y=x²-3) et de l'équation du cercle C (x²+y²=r²)

2) En déduire alors que x est solution d'une équation (E) "bicarrée", c'est à dire de la forme ax^4+bx²+c=0, et trouver les valeurs a b et c.
En resolvant le système j'ai trouvé bon!

aprés avoir trouvé le nombre de points d'intersection possible (qui revient à étudier le signe du discriminant) on me demande de caractériser les cas de tengence! et la je coince!!! Ma prof m'a donné quelque piste du genre:
le cercle et la courbe se touche il suffit alors de résoudre:
vecU.vecOM=0 car le rayon du cercle est perpendiculaire à la tengente à la courbe! (ou vecU est le vecteur directeur de la tengente et Vec OM le rayon du cercle en gros)
Bon je sais pas si je me suis exprimé correctement mais on sait jamais lol!!

Merci d'avance de votre aide!

Yann

[Sa Majesté]

Le plus simple est peut-être de dire que le cercle est tangent à la parabole lorsque le discriminant de l'équation du second degré est nul

[yann78]

oui, mais pourquoi? Certains lui on proposé ça mais elle a dis que cela ne prouvait rien.

[L.A.]

Bonsoir,

je dirai que deux courbes qui sont tangentes ont la même tangente, et la tangente au cercle est perpendiculaire au diamètre.

Donc, lorsqu'il y a contact et lorsque la tangente à la parabole est perprendiculaire au diamètre...

[yann78]

Le produit scalaire du vecteur directeur de la tengente et du vec(rayon) est égale à o, j'ai déja ésseyé mais je n'ai aucune indication sur les coordonnées des points! je n'aboutis à rien.

[L.A.]

la condition correspondante à la "tangence" se traduit sur l'équation bicarrée par Delta = 0, comme l'a dit Sa gracieuse Majesté

on calcule les coordonnées du point de contact par cette équation
puis on exprime les vecteurs tangents u1 au cercle et u2 à la parabole.

ils sont bien tangents si u1 // u2

enfin pour moi c'est ça...

[Sa Majesté]

comme l'a dit Sa gracieuse Majesté

Je n'en demande pas tant ! :ptdr: :zen: