Problême de tangente à deux courbes

[le fouineur]

Bonjour à tous,

le problème qui m'amène à vous demander de l'aide est le suivant:

Dans un repère orthogonal (O,i,j) on a tracé les courbes P et H d'équations:

P:y=x^2
H:y=1/x

L'objet de l'exercice est d'étudier l'existence d'une tangente commune aux deux courbes P et H.
1o)-on suppose qu'il existe une droite D tangente à P en un point A d'abcisse a et tangente à H en un point B d'abcisse b.

2o)-J'ai démontré que: 2*a= -1/(b^2) (égalité des coefficients directeurs de P et de H)

3o)-J'ai démontré que la droite D a pour équation: y= 2*a*x-(a^2)
et j'en ai déduit la relation: 1/b=2*a*x-(a^2)

4o)-Il est demandé de déterminer les réels a et b;d'une manière analytique, j'ai trouvé:

que a=-1/(2*b^2) et que b=Sqrt[-1/(2*a)] mais il me faudrait des résultats numériques...

Enfin il faudrait démontrer qu'il existe une droite et une seule, qui est tangente aux deux courbes P et H. J'avoue qu' ayant une formation technique comme formation initiale, je n'ai vraiment aucune idée qui me vient à l'esrit pour démontrer cela.

Merci à ceux qui ont eu le courage de me lire jusqu'ici, et merci d'avance à ceux qui pourront m'aider à clôre ce problème...

Cordialement le fouineur

[Ericovitchi]

Reprenons car je ne suis pas sûr de tes résultats intermédiaires.
l'équation d'une tangente à une courbe en un point a c'est Y=f'(a) (X-a) + f(a)

Donc une tangente générique en a à y=x² c'est Y=2a(X-a)+a²
et une tangente générique en b à y=1/x c'est Y=-1/b² ( X-b) + 1/b

Pour que ces deux droites soient confondues, il faut que leur coefs soient égaux donc
2a = - 1/b² et -a²= 2/b
Avec la seconde b=-2/a², on remplace dans la première 2a=-a^4/4 d'où a^3=-8, a=-2 et b=-1/2

d'où la seule tangente commune Y=-4x-4

Petite vérification graphique :

Ca a l'air super tout ça

[le fouineur]

Merci beaucoup, Ericovitchi, je pense que tu m'a suggéré la bonne démarche.

Cordialement le fouineur