Intégrale et DL

[kanaz]

Bonjour a tous!

J'ai entrepris des devoirs de vacances ( faut bien :we: )
Et je bloque sérieusement sur un exercice!

Pour tout entier naturel n non nul on pose:

In = intégrale de 0 a 1 (x^n *dx / 1+x²)

1) trouver la limite quand n-> infini

ca c'est fait sans trop de difficulté j'ai encadré In: 0donc la limite est 0

2)Donner un développement limité à l'ordre 2, en 1/n de In, lorsque n tend vers +infini (c'est a dire une expression de la forme:

In= a0 + a1*1/n + a2*1/n² + o(1/n²) (n->+inf) )

j'ai pensé aux intégrations par parties sans vraiment aboutir a quelque chose de concret! Merci d'avance pour votre aide! :id:

[mathelot]

bonjour,


écrire le développement limité de
(c'est la somme d'une progression géométrique de raison )

et ensuite intégrer de 0 à 1.

Il n'y aucun souçi d'intégrabilité concernant le reste.

[kanaz]

Merci pour ta réponse!

Je m'y perd énormement au niveau des notations!

1/(1+U)= 1-U+U² +o(U²) quand U-> 0

donc

1/(1+x²) = 1 - x² + o(x²)


après j'ai du mal à voir quand faire intervenir les n .

est-ce que je doit ecrire 1 - 1/n² + o(1/n²) pour l'expression si dessu?

Comment faire avec le x^n?

car x^n * 1/(1+x²) = o(x²) non?

désolé je ne vois pas comment continuer!

[mathelot]

1/(1+x²) = 1 - x² + o(x²)

montrons que le "petit o" est intégrable



(somme des 3 premiers termes d'une progression géométrique de raison et de 1er terme 1.




ceçi montre que le "petit o" est intégrable.

Ensuite, on multiplie par et l'on intégre par rapport à
la variable entre 0 et 1.

[Joker62]

Je dis que d'la merdouille :D